Question

y=-x³+ 1 [-2;0] Исследовать функцию построить её график найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке [a, b] и вычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции осью Ох и прямыми x=a, x=b

Answer 1

Дано: y = -x³ + 1

D(y) = [-2;0] - область определения.

Пошаговое объяснение:

1. Гладкая непрерывная функция - график в приложении.

2. Нуль функции:  Y(x) = 0,   x = 1.

3. На D(y) - убывает.

4. Максимум:  Y(-2) = 9, минимум:  Y(0) = 1.

5. Площади -  интеграл функции. a = 0, b = - 2

$S=\int\limits^a_b {(1-x^3)} \, dx=\frac{x}{1}-\frac{x^4}{4}$

Именно такая запись мне нравится при интегрировании функций - степень увеличивается (в числителе), а знаменателе - значение этой степени.

6. Вычисляем на границах интегрирования

S(0) =0,   S(-2) = -2 - 16/4 = - 6.  S = 0 - (-6) = 6 - площадь - ответ.

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим функцию y = -x³ + 1 и произведем ее исследование. Затем построим график и найдем наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке [-2, 0]. После этого, вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью Ох и прямыми x = -2 и x = 0.

1. Исследование функции y = -x³ + 1: а) Найдем область определения функции: Функция не имеет ограничений в области определения, т.к. любое значение x принадлежит области определения для всех действительных чисел.

б) Найдем производную функции: y = -x³ + 1 y' = d/dx (-x³ + 1) y' = -3x²

в) Найдем точки экстремума (где производная равна нулю или не существует): -3x² = 0 x² = 0 x = 0

г) Исследуем знак производной в интервалах:

• Если x < 0, то (-3x²) < 0, следовательно, функция убывает на интервале (-∞, 0).
• Если x > 0, то (-3x²) > 0, следовательно, функция возрастает на интервале (0, +∞).

д) Найдем вторую производную функции: y'' = d/dx (-3x²) y'' = -6x

е) Определим выпуклость и вогнутость функции с помощью знака второй производной:

• Если x < 0, то (-6x) > 0, следовательно, функция вогнута на интервале (-∞, 0).
• Если x > 0, то (-6x) < 0, следовательно, функция выпукла на интервале (0, +∞).

2. Построение графика функции:

Давайте построим график функции y = -x³ + 1 на интервале [-2, 0]:

(Пожалуйста, обратите внимание, что я не могу физически нарисовать график, так как я текстовый ИИ. Но вы можете использовать программы, такие как Excel, Wolfram Alpha или графические онлайн-калькуляторы, чтобы построить график функции.)

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке [-2, 0]:

Мы уже установили, что функция убывает на интервале (-∞, 0) и возрастает на интервале (0, +∞). Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке [-2, 0] будет в точке x = -2, а наименьшее значение функции - в точке x = 0.

Вычислим эти значения:

• Наибольшее значение функции на отрезке [-2, 0]: Подставим x = -2 в функцию: y = -(-2)³ + 1 = -(-8) + 1 = 8 + 1 = 9.

• Наименьшее значение функции на отрезке [-2, 0]: Подставим x = 0 в функцию: y = -(0)³ + 1 = 0 + 1 = 1.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-2, 0] равно 9, а наименьшее значение равно 1.

4. Вычисление площади криволинейной трапеции:

Для вычисления площади криволинейной трапеции ограниченной графиком функции, осью Ох и прямыми x = -2 и x = 0, нужно найти интеграл от модуля функции на этом отрезке и затем вычислить его абсолютное значение.

Площадь криволинейной трапеции S можно вычислить по следующей формуле: S = ∫[a, b] |f(x)| dx

где a = -2, b = 0, и f(x) = -x³ + 1.

Интегрируем функцию |f(x)| на интервале [-2, 0]:

S = ∫[-2, 0] |-x³ + 1| dx

Так как функция |f(x)| положительна на интервале [-2, 0], то можно упростить выражение:

S = ∫[-2, 0] (x³ - 1) dx

Вычислим интеграл:

S = [x⁴/4 - x] (от -2 до 0)

S = [(0)⁴/4 - 0] - [(-2)⁴/4 - (-2)]

S = [0 - 0] - [16/4 + 2]

S = -4 - 2

S = -6

Площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции, осью Ох и прямыми x = -2 и x = 0, равна 6 (по модулю).