Question

Решить уравнения на множестве комплексных чисел. x^6+1=0x^5-1=0x^3+8=04x^4+1=0Расписать полное решение

Answer 1

Ответ:

$-----------------------------------$

$x^6+1=0\\\\x^6=-1\\\\x=\sqrt[6]{-1}\\\\x=(cos(\pi)+isin(\pi))^{\frac{1}{6} }\\\\x =cos(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{6})+isin(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{6}),\ k\in\mathbb Z\\\\x=cos(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3})+isin(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3} ), \ k \in \mathbb Z\\\\x_1 = cos(\frac{\pi}{6} ) + isin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt3}{2} +\frac{1}{2}i\\\\x_2 = cos(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3} ) + isin(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3} ) = cos(\frac{\pi}{2} ) + isin(\frac{\pi}{2})=0+i=i$

$x_3=cos(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3})=cos(\frac{5\pi}{6})+isin(\frac{5\pi}{6})=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i\\\\x_4=cos(\frac{\pi}{6}+\frac{3\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{6}+\frac{3\pi}{3})=cos(\frac{7\pi}{6})+isin(\frac{7\pi}{6})=-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{2}i\\\\x_5=cos(\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3})=cos(\frac{3\pi}{2})+isin(\frac{3\pi}{2})=0-i = -i$

$x_6=cos(\frac{\pi}{6}+\frac{5\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{6}+\frac{5\pi}{3})=cos(\frac{11\pi}{6})+isin(\frac{11\pi}{6})=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{2}i$

$-----------------------------------$

$x^5-1=0\\\\x^5=1\\\\x=\sqrt[5]{1}\\\\x=(cos(0)+isin(0))^{\frac{1}{5}}\\\\x=cos(\frac{2\pi k}{5})+isin(\frac{2\pi k}{5}),\,k\in\mathbb Z\\\\x_1=cos(0)+isin(0)=1+0i=1\\\\x_2=cos(\frac{2\pi}{5})+isin(\frac{2\pi}{5})\\\\x_3=cos(\frac{4\pi}{5})+isin(\frac{4\pi}{5})\\\\x_4=cos(\frac{6\pi}{5})+isin(\frac{6\pi}{5})\\\\x_5=cos(\frac{8\pi}{5})+isin(\frac{8\pi}{5})$

$-----------------------------------$

$x^3+8=0\\\\x^3=-8\\\\x=\sqrt[3]{-8}\\\\x=(8(cos(\pi)+isin(\pi)))^{\frac{1}{3}}\\\\x=\sqrt[3]{8}(cos(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi k}{3})+isin(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi k}{3})),\,k\in\mathbb Z\\\\x=2(cos(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi k}{3})+isin(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi k}{3})),\,k\in\mathbb Z\\\\x_1=2(cos(\frac{\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{3}))=1+i\sqrt3\\\\x_2=2(cos(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}))=2(cos(\pi)+isin(\pi)) = -2+0i=-2$

$x_3=2(cos(\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}))=2(cos(\frac{5\pi}{3}+isin(\frac{5\pi}{3})) = 1-\sqrt3i$

$-----------------------------------$

$></p> <p><img src=$

$x_4=\frac{\sqrt2}{2}(cos(\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{2})+isin(\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{2}))=\frac{\sqrt2}{2}(cos(\frac{7\pi}{4})+isin(\frac{7\pi}{4}))=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди и найдем его корни на множестве комплексных чисел.

1. x^6 + 1 = 0

Перепишем уравнение как:

x^6 = -1

Теперь найдем корни шестой степени из -1. Мы знаем, что корни комплексных чисел из -1 можно представить в виде:

x = cos(π + 2πk/6) + i*sin(π + 2πk/6)

где k - целое число от 0 до 5.

Давайте найдем эти корни:

k = 0: x1 = cos(π) + i*sin(π) = -1

k = 1: x2 = cos(π + 2π/6) + isin(π + 2π/6) = cos(π/3) + isin(π/3)

k = 2: x3 = cos(π + 4π/6) + isin(π + 4π/6) = cos(2π/3) + isin(2π/3)

k = 3: x4 = cos(π + 6π/6) + isin(π + 6π/6) = cos(π) + isin(π) = -1

k = 4: x5 = cos(π + 8π/6) + isin(π + 8π/6) = cos(4π/3) + isin(4π/3)

k = 5: x6 = cos(π + 10π/6) + isin(π + 10π/6) = cos(5π/3) + isin(5π/3)

Итак, корни уравнения x^6 + 1 = 0 на множестве комплексных чисел:

x1 = -1 x2 = cos(π/3) + isin(π/3) x3 = cos(2π/3) + isin(2π/3) x4 = -1 x5 = cos(4π/3) + isin(4π/3) x6 = cos(5π/3) + isin(5π/3)

2. x^5 - 1 = 0

Перепишем уравнение как:

x^5 = 1

Это уравнение имеет корень x = 1, и остальные корни можно найти, используя корни пятой степени из 1:

x = cos(2πk/5) + i*sin(2πk/5)

где k - целое число от 0 до 4.

Корни:

k = 0: x1 = cos(0) + i*sin(0) = 1

k = 1: x2 = cos(2π/5) + i*sin(2π/5)

k = 2: x3 = cos(4π/5) + i*sin(4π/5)

k = 3: x4 = cos(6π/5) + i*sin(6π/5)

k = 4: x5 = cos(8π/5) + i*sin(8π/5)

Итак, корни уравнения x^5 - 1 = 0 на множестве комплексных чисел:

x1 = 1 x2 = cos(2π/5) + isin(2π/5) x3 = cos(4π/5) + isin(4π/5) x4 = cos(6π/5) + isin(6π/5) x5 = cos(8π/5) + isin(8π/5)

3. x^3 + 8 = 0

Перепишем уравнение как:

x^3 = -8

Теперь найдем корни третьей степени из -8. Мы знаем, что корень третьей степени из -8 можно представить в виде:

x = ∛(-8) = ∛(8)∛(-1) = 2∛(-1)

Таким образом, уравнение имеет единственный корень:

x = 2∛(-1) = 2(-1)^(1/3) = -2

4. 4x^4 + 1 = 0

Перепишем уравнение как:

4x^4 = -1

x^4 = -1/4

Теперь найдем корни четвертой степени из -1/4. Мы знаем, что корни четвертой степени из -1/4 можно представить в виде:

x = ±√(√(-1/4))

x = ±√(√(-1/4)) = ±√(√(-1)/√4) = ±√(i/2)

Итак, уравнение имеет два комплексных корня:

x1 = √(i/2) x2 = -√(i/2)

Таким образом, полное решение уравнений на множестве комплексных чисел:

1. x^6 + 1 = 0: x1 = -1 x2 = cos(π/3) + isin(π/3) x3 = cos(2π/3) + isin(2π/3) x4 = -1 x5 = cos(4π/3) + isin(4π/3) x6 = cos(5π/3) + isin(5π/3)

2. x^5 - 1 = 0: x1 = 1 x2 = cos(2π/5) + isin(2π/5) x3 = cos(4π/5) + isin(4π/5) x4 = cos(6π/5) + isin(6π/5) x5 = cos(8π/5) + isin(8π/5)

3. x^3 + 8 = 0: x = -2

4. 4x^4 + 1 = 0: x1 = √(i/2) x2 = -√(i/2)