Question

1.) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x^2+8x+16, прямыми x=-2 и осями координат. 2.)Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x^2-6x+10, прямыми x=-1, x=3 и осью абцисс.

Answer 1

1) площадь = интеграл от (-2) до (0) (x^2+8x+16) dx =

                      = 1/3*x^3+4x^2+16x (подстановка от (-2) до (0) =

                      =  0 - ( 1/3*(-2)^3+4(-2)^2+16*(-2) ) = 0 - (-8/3 +16 - 32) = 16 + 8/3 = 18 + 2/3

 

2) площадь = интеграл от (-1) до (3) (x^2-6x+10) dx =

                      = 1/3*x^3-3x^2+10x (подстановка от (-1) до (3) =

                      = 1/3*(3)^3-3*(3)^2+10*(3) - ( 1/3*(-1)^3-3*(-1)^2+10*(-1) ) =

                      = 9 - 27 + 30 - ( -1/3 - 3 - 10 ) = 12 - ( - 13 - 1/3) = 25+1/3

 

Answer 2

1. Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x^2 + 8x + 16, прямыми x = -2 и осями координат.

Для начала, найдем точки пересечения графика функции f(x) с осями координат. Для этого приравняем f(x) к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

x^2 + 8x + 16 = 0

Факторизуем это уравнение:

(x + 4)(x + 4) = 0

Получаем двукратный корень x = -4.

Таким образом, график функции пересекает ось абсцисс в точке (-4, 0).

Теперь найдем точку пересечения графика функции f(x) с прямой x = -2. Подставим x = -2 в уравнение функции:

f(-2) = (-2)^2 + 8(-2) + 16 = 4 - 16 + 16 = 4

Таким образом, график функции проходит через точку (-2, 4).

Теперь мы можем построить график функции и определить фигуру, ограниченную графиком, прямыми и осями координат:


Фигура, ограниченная графиком функции, прямыми x = -2 и осями координат, представляет собой треугольник. Чтобы найти его площадь, мы можем разделить его на два прямоугольных треугольника и прямоугольник.

Первый прямоугольный треугольник имеет высоту 4 (расстояние от графика функции до прямой x = -2) и основание 6 (расстояние от точки пересечения графика функции с осями координат до прямой x = -2). Площадь этого треугольника равна:

(1/2) * 4 * 6 = 12

Второй прямоугольный треугольник имеет высоту 4 (расстояние от графика функции до оси абсцисс) и основание 4 (расстояние от точки пересечения графика функции с осями координат до оси абсцисс). Площадь этого треугольника равна:

(1/2) * 4 * 4 = 8

Прямоугольник имеет высоту 4 (расстояние от графика функции до оси абсцисс) и ширину 6 (расстояние между прямыми x = -2 и x = 0). Площадь этого прямоугольника равна:

4 * 6 = 24

Общая площадь фигуры, ограниченной графиком функции, прямыми x = -2 и осями координат, равна сумме площадей трех частей:

12 + 8 + 24 = 44

Таким образом, площадь фигуры равна 44.

2. Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x^2 - 6x + 10, прямыми x = -1, x = 3 и осью абсцисс.

Для начала, найдем точки пересечения графика функции f(x) с осями координат. Для этого приравняем f(x) к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

x^2 - 6x + 10 = 0

Дискриминант этого уравнения D = (-6)^2 - 4(1)(10) = 36 - 40 = -4. Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что график функции не пересекает ось абсцисс.

Теперь найдем точки пересечения графика функции f(x) с прямыми x = -1 и x = 3. Подставим x = -1 и x = 3 в уравнение функции:

f(-1) = (-1)^2 - 6(-1) + 10 = 1 + 6 + 10 = 17 f(3) = (3)^2 - 6(3) + 10 = 9 - 18 + 10 = 1

Таким образом, график функции проходит через точки (-1, 17) и (3, 1).

Теперь мы можем построить график функции и определить фигуру, ограниченную графиком, прямыми и осью абсцисс:


Фигура, ограниченная графиком функции, прямыми x = -1, x = 3 и осью абсцисс, представляет собой область между графиком функции и осью абсцисс. Чтобы найти ее площадь, мы можем разделить ее на две части: прямоугольник и треугольник.

Прямоугольник имеет высоту 17 (расстояние от графика функции до прямой x = -1) и ширину 4 (расстояние между прямыми x = -1 и x = 3). Площадь этого прямоугольника равна:

17 * 4 = 68

Треугольник имеет высоту 17 (расстояние от графика функции до прямой x = -1) и основание 4 (расстояние между точками пересечения графика функции с прямыми x = -1 и x = 3). Площадь этого треугольника равна:

(1/2) * 17 * 4 = 34

Общая площадь фигуры, ограниченной графиком функции, прямыми x = -1, x = 3 и осью абсцисс, равна сумме площадей прямоугольника и треугольника:

68 + 34 = 102

Таким образом, площадь фигуры равна 102.