Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2+4х ; y=x

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и интегрировать разность функций между этими точками.

Для начала, найдем точки пересечения двух кривых: y = -x^2 + 4x и y = x.

Приравняем эти два уравнения: -x^2 + 4x = x

Перенесем все в одну сторону: -x^2 + 3x = 0

Факторизуем: x(-x + 3) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 3.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, нужно вычислить интеграл разности функций между этими точками:

S = ∫(x+ - (-x^2 + 4x)) dx, где x+ - это функция y = x, а (-x^2 + 4x) - это функция y = -x^2 + 4x.

Раскроем скобки и упростим выражение: S = ∫(x - (-x^2 + 4x)) dx = ∫(x + x^2 - 4x) dx = ∫(x^2 - 3x) dx

Теперь проинтегрируем это выражение: S = (1/3)x^3 - (3/2)x^2 + C

Вычислим площадь фигуры, подставив значения пределов интегрирования: S = [(1/3)(3)^3 - (3/2)(3)^2] - [(1/3)(0)^3 - (3/2)(0)^2] = [27/3 - 27/2] - [0 - 0] = 9 - 13.5 = -4.5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4x и y = x, равна -4.5.