Question

В знакочередующейся геометрической прогрессии первый член равен 16, а сумма первых трёх ее членов равна 61. Найдите третий член прогрессии

Answer 1

Ответ:

a1=16

a1+a2+a3=61

a1+a1q+a1q²=61

a1(1+q+q²)=61

1+q+q²=61/16

16q²+16a+16-61=0

16q²+16q-45=0

D=256+2880=3136

√D=56

q1=(-16-56)/32=-72/32=-9/4

a3=-16*81/16=-81

q2=(-16+56)/32=40/32=5/4 не удов усл,т.к. все члены будут больше 0

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии: Sn = a(1 - r^n) / (1 - r), где Sn - сумма первых n членов прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии, n - количество членов. Мы знаем, что первый член прогрессии равен 16, а сумма первых трех членов равна 61. Подставим эти значения в формулу: 61 = 16(1 - r^3) / (1 - r). Теперь решим это уравнение относительно r. Для этого приведем его к квадратному уравнению: 61(1 - r) = 16(1 - r^3). 61 - 61r = 16 - 16r^3. 16r^3 - 61r + 45 = 0. Мы получили кубическое уравнение. Решить его можно различными способами, например, методом подстановки или методом Ньютона. Однако, в данном случае можно заметить, что числовые значения в уравнении довольно маленькие, поэтому можно попробовать перебрать некоторые значения r, чтобы найти подходящее решение. Попробуем подставить некоторые значения для r: -1: 16(-1)^3 - 61(-1) + 45 = -16 + 61 + 45 = 90 (не равно 0). -0.5: 16(-0.5)^3 - 61(-0.5) + 45 = -2 + 30 + 45 = 73 (не равно 0). 0: 16(0)^3 - 61(0) + 45 = 45 (не равно 0). 0.5: 16(0.5)^3 - 61(0.5) + 45 = 2 - 30 + 45 = 17 (не равно 0). 1: 16(1)^3 - 61(1) + 45 = 0. Получается, что r = 1 является решением уравнения. Теперь, когда мы знаем знаменатель прогрессии (r), мы можем найти третий член прогрессии, используя формулу: an = a * r^(n-1), где an - n-ый член прогрессии. Подставим значения в формулу: a3 = 16 * 1^(3-1) = 16 * 1^2 = 16 * 1 = 16. Третий член прогрессии равен 16. Таким образом, третий член прогрессии равен 16.