Question

Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями y=x^2+2,y=0,x=-1,x=3

Answer 1

Пошаговое объяснение:

S=∫³(2x²+2)dx=(x³/3+2x)|³=

`¹ `¹

=3³/3+2•3-((-1)³/3+2•(-1))=

=9+6-(-1/3-2)=15+2 1/3=17 1/3 ед²

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, мы должны интегрировать функцию, описывающую верхнюю границу области и вычесть площадь области под нижней границей. Итак, у нас даны следующие границы: верхняя граница: y = x^2 + 2 нижняя граница: y = 0 левая граница: x = -1 правая граница: x = 3 Сначала найдём точки пересечения верхней и нижней границ: x^2 + 2 = 0 x^2 = -2 Так как уравнение не имеет реальных корней, границы y = x^2 + 2 и y = 0 не пересекаются. Затем найдём точки пересечения верхней границы и левой границы: (x-1)^2 + 2 = 0 (x-1)^2 = -2 Опять же, это уравнение не имеет реальных корней, поэтому границы y = x^2 + 2 и x = -1 также не пересекаются. Наконец, найдём точки пересечения верхней границы и правой границы: (3)^2 + 2 = 0 9 + 2 = 0 11 = 0 Опять же, это уравнение не имеет реальных корней. Так как все границы не пересекаются, фигура ограничена только границами y = x^2 + 2 и x = -1 и x = 3. Чтобы найти площадь этой фигуры, мы должны вычислить интеграл от y = x^2 + 2 по x от -1 до 3: ∫[from -1 to 3] (x^2 + 2) dx Раскрываем скобку: ∫[from -1 to 3] x^2 dx + ∫[from -1 to 3] 2 dx Интегрируем по отдельности: (1/3)x^3 + 2x | [-1, 3] + 2x | [-1, 3] Подставляем границы: [(1/3)(3)^3 + 2(3)] - [(1/3)(-1)^3 + 2(-1)] + 2(3) - 2(-1) Упрощаем и вычисляем: [(1/3)(27) + 6] - [(1/3)(-1) - 2] + 6 + 2 [9 + 6] - [-1/3 - 2] + 8 15 + 1/3 + 2 + 8 25 + 1/3 Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 2, y = 0, x = -1, x = 3, равна 25 1/3.