Question

3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2Isbotlang.Докажите.

Answer 1

Ответ:

смотрите на фото доказательство

Answer 2

Дано неравенство 3(a^2 + b^2 + c^2) ≥ (a + b + c)^2. Мы хотим доказать его. Для начала, раскроем квадрат в правой части неравенства: (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc. Теперь неравенство примет вид: 3(a^2 + b^2 + c^2) ≥ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc. Упростим его: 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 ≥ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc. Перенесем все слагаемые в левую часть: 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc ≥ 0. Раскроем скобки: 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) ≥ 0. Упростим: a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc ≥ 0. Теперь заметим, что левая часть неравенства представляет собой сумму квадратов разностей двух переменных: (a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 ≥ 0. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому каждое слагаемое в этой сумме также неотрицательно. Таким образом, мы доказали, что неравенство 3(a^2 + b^2 + c^2) ≥ (a + b + c)^2 выполняется для любых a, b и c. Это завершает наше доказательство.