Question

9 Вычислите площадь фигуры (S), ограниченной линиями у = х3 + 1, у = 0, х = 0, х = 2. Вычислите площадь фигуры (S), ограниченной линиями у = 4 –х2, у = 0, х = 0, х = 2. Решите пожалуйста, нужен только ответ.

Answer 1

Ответ:

6 (кв. единиц)

Пошаговое объяснение:

Фигура ограничена: сверху  функцией y₁=x3+1, слева x=0, справа x=2, снизу прямой y₂=0 (см. рисунок). Площадь S фигуры вычислим с помощью определенного интеграла:

$\displaystyle S=\int\limits^ {2}_{0} {(y_{1}-y_{2} )} \, dx =\int\limits^ {2}_{0} {(x^{3} +1-0)} \, dx =\int\limits^ {2}_{0}(x^{3}+1) \, dx = (\frac{1}{4} \cdot x^{4}+x) \left | {^{2}_{0}} \right.=\\\\=(\frac{1}{4}\cdot 2^{4}+2)-(\frac{1}{4}\cdot 0^{4}+0)=(\frac{16}{4}+2) -0=4+2=6$

Answer 2

Для решения задачи нам понадобится найти точки пересечения линий.

1) Уравнение линии у = х^3 + 1 задает параболу, а уравнение линии у = 0 задает ось Ох. Чтобы найти точки пересечения, приравняем эти два уравнения:

х^3 + 1 = 0

Такое уравнение не имеет рациональных корней, поэтому чтобы найти точки пересечения, нужно прибегнуть к численным методам решения.

Площадь фигуры (s) ограничена линиями у = х^3 + 1, у = 0, х = 0 и х = 2. В данном случае, площадь фигуры (s) можно вычислить с помощью определенного интеграла:

s = ∫[0, 2] (х^3 + 1) dx

2) Уравнение линии у = 4 – х^2 задает параболу, а уравнение линии у = 0 задает ось Ох. Чтобы найти точки пересечения, приравняем эти два уравнения:

4 - х^2 = 0

Решим это уравнение:

х^2 = 4 х = ±2

Точки пересечения линий: (2, 0) и (-2, 0).

Площадь фигуры (s) ограничена линиями у = 4 – х^2, у = 0, х = 0 и х = 2. В данном случае, площадь фигуры (s) также можно вычислить с помощью определенного интеграла:

s = ∫[-2, 2] (4 – х^2) dx

К сожалению, необходимо проводить численные вычисления вышеуказанных интегралов, чтобы получить точные значения площади фигур (s).