Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y^2=4*x-x^2, y^2=2*x(вне параболы) . ВСЕ ПОДРОБНО пожалуйста. Даю 98 баллов

Answer 1

Как я понял, нужно найти площадь двух симметричных фигур, ограниченных окружностью и которые лежат вне параболы.

Найдем площадь этих двух частей (первая из них показана на втором рисунке; их площади совпадают). Очевидно, площадь фигуры равна разности между площадью полукруга и площадью криволинейной трапеции (*), заданной формулой y²=2x; y²=4x-x² ⇔ -y²=x²-4x=(x-2)²-4 ⇔ 
(x-2)²+y² = 4; Значит радиус окружности равен 2; Центр окружности (2;0).
найдем точки пересечения (параболы и окружности): -x²+4x=2x ⇔ -x²+2x=0; x=0 или x=2; отсюда точки пересечения: (0;0), (2;2), (2;-2).
(Вообще нужно было через модули решать, но из графика много что видно, так что я упростил). Итак, осталось найти только площадь.
Из (*) нужно найти площадь полукруга. Она равна  $\frac{4 \pi }{2}=2 \pi$ 
Площадь части параболы равна 

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, мы сначала должны найти точки их пересечения. Затем мы можем найти интеграл функции, описывающей разницу между этими двумя кривыми вдоль оси x, а затем использовать теорему Фубини для вычисления площади.

1. Начнем с нахождения точек пересечения кривых: y^2 = 4x - x^2 ... (1) y^2 = 2x ... (2)

Для нахождения точек пересечения, мы можем приравнять (1) и (2):

4x - x^2 = 2x

Переносим все члены на одну сторону и упростим:

2x - x^2 = 0

Теперь решим это уравнение:

x(2 - x) = 0

Это уравнение имеет два решения:

1. x = 0
2. 2 - x = 0, что дает x = 2

Теперь мы имеем две точки пересечения: (0, 0) и (2, 0).

2. Теперь мы можем выразить y для каждой из кривых, используя уравнения (1) и (2):

Для кривой (1): y^2 = 4x - x^2 y^2 = 4(0) - 0^2 = 0 y = 0

Для кривой (2): y^2 = 2x y = ±√(2x)

3. Теперь у нас есть верхняя и нижняя границы фигуры. Давайте найдем верхнюю и нижнюю функции, чтобы определить область, которую мы будем интегрировать:

• Верхняя функция: y = √(2x)
• Нижняя функция: y = 0

4. Теперь мы готовы вычислить интеграл для определения площади фигуры:

Площадь (S) = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx, где a и b - это значения x, где кривые пересекаются, т.е., a = 0 и b = 2.

S = ∫[0, 2] (√(2x) - 0) dx S = ∫[0, 2] √(2x) dx

Теперь давайте вычислим этот интеграл:

S = ∫[0, 2] √(2x) dx = (1/3)√(2x)^3 |[0, 2]

S = (1/3)(2√2 - 0) - (1/3)(0 - 0)

S = (2/3)√2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y^2 = 4x - x^2 и y^2 = 2x, равна (2/3)√2, или примерно 0.9428 единицы площади.