Question

Вычислить площадь, ограниченную линиями: у = – x^2 + 2, y = x + 2;

Answer 1

Ответ:

$x1 = - \sqrt{2} \\ x2 = \sqrt{2}$

$x = - 2$

Answer 2

Для вычисления площади, ограниченной линиями y = -x^2 + 2 и y = x + 2, нам нужно найти точки их пересечения. Это можно сделать, приравнивая их уравнения:

-y = -x^2 + 2 x + 2 = x

Теперь решим это систему уравнений:

1. -x^2 + 2 = x
2. x^2 + x - 2 = 0

Далее найдем корни квадратного уравнения:

x^2 + x - 2 = 0

Факторизуем его:

(x + 2)(x - 1) = 0

Таким образом, у нас есть два решения: x = -2 и x = 1.

Теперь мы можем найти соответствующие значения y, подставив эти x в уравнения:

1. Для x = -2: y = -(-2)^2 + 2 = -4 + 2 = -2

2. Для x = 1: y = 1 + 2 = 3

Таким образом, точки пересечения линий - (-2, -2) и (1, 3).

Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, используя метод интеграции. Площадь будет равна интегралу разности функций y = -x^2 + 2 и y = x + 2 от x = -2 до x = 1:

S = ∫[from -2 to 1] ((x + 2) - (-x^2 + 2)) dx

S = ∫[from -2 to 1] (x + 2 + x^2 - 2) dx

S = ∫[from -2 to 1] (x + x^2) dx

Теперь проинтегрируем это выражение:

S = [1/2 * x^2 + 1/3 * x^3] from -2 to 1

S = [(1/2 * 1^2 + 1/3 * 1^3) - (1/2 * (-2)^2 + 1/3 * (-2)^3)]

S = [(1/2 + 1/3) - (2 + (-8/3))]

S = [(3/6 + 2/6) - (12/6 - 8/6)]

S = [(5/6) - (4/6)]

S = 1/6

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 2 и y = x + 2, равна 1/6 квадратных единиц.