Question

Вычислите значение производной исходной функции в точке x=1, если f(x)=4+√X/4-√X

Answer 1

$f(x) = 4 + \frac{ \sqrt{x} }{4} - \sqrt{x} = 4 - \frac{3 \sqrt{x} }{4}$
Производная:
$f(x) = - \frac{3}{8 \sqrt{x} }$

$f(1) = - \frac{3}{8 \sqrt{1} } = - \frac{3}{8}$

Answer 2

Чтобы вычислить производную функции f(x) в точке x = 1, мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила).

Исходная функция: f(x) = 4 + √x / (4 - √x)

Для начала, представим её в виде: f(x) = 4 + (x^(1/2)) / (4 - x^(1/2))

Теперь вычислим производную функции f(x) с помощью правила дифференцирования сложной функции. Обозначим первую часть функции как u(x) = 4 + x^(1/2), а вторую как v(x) = 4 - x^(1/2).

u'(x) = 0 + (1/2) * x^(-1/2) = 1 / (2√x)

v'(x) = 0 - (1/2) * x^(-1/2) = -1 / (2√x)

Теперь применяем правило дифференцирования сложной функции:

f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

f'(1) = (1 / (2√1)) * (4 - √1) + (4 + √1) * (-1 / (2√1))

Теперь вычислим значения при x = 1:

f'(1) = (1 / 2) * (4 - 1) + (4 + 1) * (-1 / 2)

f'(1) = (1 / 2) * 3 + (5) * (-1 / 2)

f'(1) = (3/2) - (5/2)

f'(1) = -2/2

f'(1) = -1

Таким образом, значение производной функции f(x) в точке x = 1 равно -1.