Question

Какую цифру можно подставить вместо *, чтобы: а) число 511* делилось на 9 без остатка (13 баллов); б) число 341*0 делилось на 3 и на 10 без остатка (15 баллов). Укажите все возможные варианты. Обоснуйте своё решение, используя признаки делимости.

Answer 1

а) признак делимости на 9 - сумма цифр должна делится на 9.

5+1+1=7 - сумма цифр

7:9= 0(ост 7)

наименьшее кратное числа оно само

найдём сколько не хватает до делимости

9-7=2 - нужно прибавить к числу

5112

проверим дальше)

чтобы найти еще подходящие числа, можно к подходящей цифре прибавить наименьшее кратное - 9+2=11  - число двухзначное, оно нам не подходит. дальше нет смысла проверять,так как числа больше будут

б)

признак делимости на 10 - число оканчивается на 0. - у нас будет делиться в любом случае так как оканчивается на 0

признак делимости на 3 - сумма цифр делится на 3.

3+4+1+0= 8 - сумма цифр

8:3=2(ост 2)

посмотрим сколько не хватает до делимости, из наименьшего кратного 3,а это оно само,вычтем остаток.

3-2=1 - не хватает

34110

чтобы найти еще подходящие числа, можно к подходящей цифре прибавить наименьшее кратное - 1+3=4 - подходит,так как однозначное

34140

4+3=7 -подходит,однозначное

34170

7+3=10 - не подходит,двухзначное  

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности:

а) Число 511* должно делиться на 9 без остатка. Признак делимости на 9 гласит, что число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр также делится на 9.

Сумма цифр числа 511* равна 5 + 1 + 1 + * = 7 + *. Чтобы эта сумма делилась на 9, необходимо, чтобы 7 + * было кратно 9. Рассмотрим возможные значения *:

• Если * = 2, то 7 + 2 = 9, что делится на 9 без остатка.

Таким образом, подходящее значение для * в этом случае - 2.

б) Число 341*0 должно делиться и на 3, и на 10 без остатка.

• Для делимости на 3 сумма цифр должна быть кратной 3. Сумма цифр 341*0 равна 3 + 4 + 1 + * + 0. Чтобы эта сумма делилась на 3, необходимо, чтобы 8 + * было кратно 3.

• Для делимости на 10 число должно оканчиваться на 0. Таким образом, * должно быть равно 0.

Рассмотрим возможные значения *:

• Если * = 2, то 8 + 2 = 10, что делится на 3 и 10 без остатка.

Таким образом, подходящее значение для * в этом случае - 2.