Question

Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями: y= корень из х , x= 1 . x =25 , y=0+ рисунок

Answer 1

$S= \int\limits^{25}_1 \sqrt{x} \, dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}\Big |_1^{25}=\frac{2}{3}\cdot (\sqrt{25^3}-1)= \frac{2}{3}\cdot (125-1)=\\\\=\frac{248}{3}=82 \frac{2}{3}$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = √x, x = 1, x = 25 и y = 0, нам нужно определить область между этими линиями и вычислить интеграл этой области.

Графики этих функций выглядят следующим образом:

1. y = √x - это положительная половина параболы, которая начинается от точки (0, 0) и идет до бесконечности вправо.
2. x = 1 - это вертикальная линия, которая проходит через точку (1, 0).
3. x = 25 - это также вертикальная линия, которая проходит через точку (25, 0).
4. y = 0 - это горизонтальная линия на оси x.

Область между этими линиями будет ограничена вертикально линиями x = 1 и x = 25, а горизонтально линией y = 0 и половиной параболы y = √x. Таким образом, чтобы вычислить площадь этой фигуры, мы можем выразить ее как интеграл от 1 до 25 функции √x по переменной x:

$S = \int_{1}^{25} \sqrt{x} dx$

Теперь вычислим этот интеграл:

$S = \left[\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}\right]_{1}^{25} = \frac{2}{3}(25^\frac{3}{2} - 1^\frac{3}{2}) = \frac{2}{3}(625 - 1) = \frac{2}{3}(624) = 416$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = √x, x = 1, x = 25 и y = 0, равна 416 квадратным единицам.