Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями. x^2-2y=3; x^2-y=4

Answer 1

ВСПОМНИЛИ: Площадь - интеграл функции.

РЕШЕНИЕ

1. Преобразовали функции и находим точки их пересечения.

Y1 = 1/2*x² - 3/2 = Y2 = x² - 4  и получили:

0,5*х² - 2,5 = 0,  

a = √5 - верхний предел  и b = -√5 - нижний предел (≈ +/- 2.23)

Пишем первообразную функцию

s(x) = - 2.5 + 0.5*x² - разность до интегрирования.

S(x) = - 2.5*x + 1/6*x³ - первообразная.

Вычисляем на границах интегрирования.

S(√5) = 5.59 - 1.86 = 3.73, S(-√5) = - 5.59 + 1.86 = - 3.73

S = S(a) - S(b) ≈ 7.4536 - площадь - ОТВЕТ

Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками уравнений x^2 - 2y = 3 и x^2 - y = 4, мы можем воспользоваться методом нахождения площади между двумя кривыми в пределах определенных интервалов по оси x.

Сначала найдем точки пересечения этих двух кривых, чтобы определить интервал, на котором мы будем вычислять площадь. Для этого мы решим систему уравнений:

1. x^2 - 2y = 3
2. x^2 - y = 4

Выразим y из обоих уравнений:

Из уравнения (1): y = (x^2 - 3) / 2

Из уравнения (2): y = x^2 - 4

Теперь уравняем выражения для y: (x^2 - 3) / 2 = x^2 - 4

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: x^2 - 3 = 2(x^2 - 4)

Распределим 2 справа: x^2 - 3 = 2x^2 - 8

Теперь выразим x: x^2 - 2x^2 = -8 + 3 -x^2 = -5

Умножим обе стороны на -1: x^2 = 5

Извлекая квадратный корень из обеих сторон: x = ±√5

Теперь мы знаем, что точки пересечения находятся в x = √5 и x = -√5.

Для нахождения площади между кривыми на этом интервале, нам нужно вычислить интеграл разности этих функций по x на интервале [-√5, √5]:

S = ∫[√5, -√5] [(x^2 - 4) - ((x^2 - 3) / 2)] dx

Теперь вычислим этот интеграл:

S = ∫[√5, -√5] [(x^2 - 4) - ((x^2 - 3) / 2)] dx S = ∫[√5, -√5] [(x^2 - 4) - (x^2/2 - 3/2)] dx S = ∫[√5, -√5] [(x^2/2 - 7/2)] dx

Теперь вычислим интеграл: S = [(x^3/6 - (7/2)x)] |[√5, -√5] S = [(√5^3/6 - (7/2)√5)] - [(-√5^3/6 - (7/2)(-√5))] S = [(5√5/6 - (7/2)√5)] - [(-5√5/6 + (7/2)√5)] S = (5√5/6 - 7√5/2) - (-5√5/6 - 7√5/2) S = (5√5/6 - 7√5/2 + 5√5/6 + 7√5/2) S = 10√5/6

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками уравнений x^2 - 2y = 3 и x^2 - y = 4, равна 10√5/6 или примерно 5.81 единицы площади.