Question

Мистер Фокс собирается выписать на доску все семизначные числа, сумма цифр которых равна 62. Сколько чисел напишет на доске мистер Фокс?

Answer 1

Ответ: 7

Пошаговое объяснение:

Самое большое семизначное число равно 9999999 , сумма

его цифр  равна 63 , докажем , что если сумма цифр

семизначного числа равна 62,  то у него одна восьмерка , а

остальные девятки , действительно , если  в записи числа есть

цифра меньше 8 , то сумма его цифр не превысит

числа  9·6 + 7 = 61 , а если в записи числа есть больше одной

восьмерки ,  то сумма его цифр не превысит 16 + 9·5 = 61  ⇒ в

записи числа должна   быть ровно одна восьмерка , а

остальные цифры - девятки , таких чисел  ровно 7 ( восьмерка

может стоять на любом месте от первого до  седьмого ) :

8999999 ; 9899999 ; 9989999 ; 9998999 ; 9999899 ; 9999989 ;

9999998

Answer 2

Чтобы найти количество семизначных чисел, сумма цифр которых равна 62, мы можем воспользоваться методом "Шары и перегородки" (Stars and Bars). Этот метод позволяет найти количество способов разделить сумму (в данном случае 62) на несколько слагаемых (в данном случае цифры в числе) с учетом ограничений.

В данном случае у нас есть 7 позиций для цифр в числе, и сумма цифр должна быть равна 62. Мы можем представить семизначное число как строку из 7 позиций, где одна из позиций будет разделителем (перегородкой), разделяющей сумму на две части: сумму цифр слева от разделителя и сумму цифр справа от разделителя.

Например, если мы хотим представить число 1234567 с суммой цифр 62, мы можем использовать разделитель между 3 и 4, чтобы разделить сумму на 12 и 50: 12|50|34567.

Теперь мы можем применить формулу для "Шары и перегородки". Количество способов разделить 62 на две части с помощью одной перегородки в строке из 7 позиций равно C(7+1, 1), где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент.

C(7+1, 1) = C(8, 1) = 8

Таким образом, мистер Фокс сможет выписать 8 семизначных чисел, сумма цифр в которых равна 62.