Question

Найдите угол между векторами a= 3i - 4k и b= 5i-12k

Answer 1

Ответ:

$\arccos \frac{63}{65}$

Пошаговое объяснение:

$\vec{a}=(3;0;-4) \\ \vec{b}=(5;0;-12) \\ \\ |\vec{a}|=\sqrt{3^2+0^2+(-4)^2} =\sqrt{9+16}=5 \\ |\vec{b}|=\sqrt{5^2+0^2+(-12)^2} =\sqrt{25+144}=13 \\ \vec{a}*\vec{b}=3*5+0*0+(-4)*(-12)=15+48=63 \\ \\ \cos\alpha =\frac{\vec{a}*\vec{b}}{ |\vec{a}|* |\vec{b}|} =\frac{63}{5*13} =\frac{63}{65} \\ \\ \alpha =\arccos \frac{63}{65}$

Answer 2

Чтобы найти угол между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, используем следующую формулу для косинуса угла $\theta$ между двумя векторами:

$\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|}}$

Где $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ - скалярное произведение векторов, $\|\mathbf{a}\|$ - длина вектора $\mathbf{a}$ (модуль), $\|\mathbf{b}\|$ - длина вектора $\mathbf{b}$ (модуль).

Сначала найдем скалярное произведение $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3 \cdot 5) + (0) + (-4 \cdot -12) = 15 + 48 = 63$

Теперь найдем длины векторов:

$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{3^2 + 0 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$\|\mathbf{b}\| = \sqrt{5^2 + 0 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса угла $\theta$:

$\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|}} = \frac{{63}}{{5 \cdot 13}} = \frac{{63}}{{65}}$

Теперь найдем угол $\theta$ с помощью арккосинуса:

$\theta = \arccos\left(\frac{{63}}{{65}}\right) \approx 0.359 \text{ радиан}$

Чтобы перевести угол в градусы, умножим его на $\frac{{180}}{{\pi}}$:

$\theta \approx 20.57^\circ$

Итак, угол между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ составляет примерно $20.57^\circ$.