Question

Найти производную сложной функций y=sin√x​

Answer 1

Производная сложной функции:

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Основные формулы дифференцирования:

$(\sin x)'=\cos x$

$(\sqrt{x} )'=\dfrac{1}{2\sqrt{x} }$

Рассмотрим функцию:

$y=\sin\sqrt{x}$

Находим производную:

$y'=\left(\sin\sqrt{x}\right)'=\cos \sqrt{x} \cdot\left(\sqrt{x} \right)'=\cos \sqrt{x} \cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x} } =\boxed{\dfrac{\cos \sqrt{x} }{2\sqrt{x} }}$

Answer 2

Для нахождения производной сложной функции y = sin(√x), мы будем использовать правило цепочки (chain rule).

Правило цепочки гласит, что производная сложной функции f(g(x)) равна производной внешней функции f(g(x)) умноженной на производную внутренней функции g(x). Формально:

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)

В данном случае, внешняя функция f(u) = sin(u), а внутренняя функция g(x) = √x.

1. Найдем производную внешней функции f(u) = sin(u). Производная sin(u) равна cos(u):

f'(u) = cos(u)

2. Теперь найдем производную внутренней функции g(x) = √x. Производная √x равна (1/2)√x:

g'(x) = (1/2)√x

3. Теперь мы можем применить правило цепочки:

d/dx [sin(√x)] = f'(g(x)) * g'(x)

d/dx [sin(√x)] = cos(√x) * (1/2)√x

Таким образом, производная сложной функции y = sin(√x) равна:

d/dx [sin(√x)] = (1/2)√x * cos(√x)