Question

Вычислите следующую сумму,если xyz=1: 1:(1+x+xy)+1:(1+y+yz)+1:(1+z+zx)

Answer 1

Ответ.1 вторую дробь умнжить на х а третью дробь на ху тогда в знаменателе появятся хуz=1

Answer 2

Давайте разберемся с этим выражением:

1:(1+x+xy) означает, что мы имеем дело с последовательностью, начинающейся с 1 и заканчивающейся на (1+x+xy). Такая последовательность будет выглядеть как [1, 2, 3, ..., (1+x+xy)].

Аналогично, 1:(1+y+yz) представляет собой последовательность от 1 до (1+y+yz) включительно, а 1:(1+z+zx) - последовательность от 1 до (1+z+zx) включительно.

Теперь давайте выразим (1+x+xy), (1+y+yz) и (1+z+zx) через xyz=1:

1+x+xy = 1+x(1+y) = 1+x(1+y) = 1+xy+x 1+y+yz = 1+y(1+z) = 1+y(1+z) = 1+yz+y 1+z+zx = 1+z(1+x) = 1+z(1+x) = 1+zx+z

Таким образом, итоговые выражения для суммы будут:

[1, 2, ..., 1+xy+x] + [1, 2, ..., 1+yz+y] + [1, 2, ..., 1+zx+z]

Эти последовательности являются арифметическими прогрессиями, и сумму можно выразить по формуле:

Сумма = (n/2) * (первый элемент + последний элемент), где n - количество элементов.

В каждой последовательности количество элементов равно (1+xy+x) - 1 = xy+x, (1+yz+y) - 1 = yz+y и (1+zx+z) - 1 = zx+z соответственно.

Таким образом, сумма будет равна:

S = (xy+x)/2 * (1 + xy+x) + (yz+y)/2 * (1 + yz+y) + (zx+z)/2 * (1 + zx+z)

Теперь, используя условие xyz=1, подставим:

S = (xy+x)/2 * (1 + xy+x) + (yz+y)/2 * (1 + yz+y) + (zx+z)/2 * (1 + zx+z) = (xy+x)/2 * (1 + xy+x) + (yz+y)/2 * (1 + yz+y) + (zx+z)/2 * (1 + zx+z) = (1+x)/2 * (1 + 1+x) + (1+y)/2 * (1 + 1+y) + (1+z)/2 * (1 + 1+z) = (1+x)/2 * (2+x) + (1+y)/2 * (2+y) + (1+z)/2 * (2+z) = (1+x)(1+x/2) + (1+y)(1+y/2) + (1+z)(1+z/2) = 1 + x + x/2 + 1 + y + y/2 + 1 + z + z/2 = 3 + x/2 + y/2 + z/2

Таким образом, сумма равна 3 + (x + y + z)/2. Поскольку по условию задачи xyz=1, то x + y + z = 1, следовательно:

S = 3 + 1/2 = 7/2 или 3.5.