Question

Существуют ли числа (из множества действительных чисел) x, y, z такие, что x+y+z = 6 и: a. xyz = 6 b. xyz = 9 c. xyz = 8 d. xyz = 7 Обязательно, пожалуйста, опишите принцип решения.

Answer 1

Ответ:

Да

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим более общую постановку задачи: существуют ли такие действительные числа x,y,z, что x+y+z=A и xyz=B, где А и В - действительные числа?

1) В≠0 => z≠0 => условия равносильны системе x+y=A-z, xy=B/z.

А задача о существовании действительных решений такой системы равносильна задаче о существовании действительных корней квадратного уравнения t²-(A-z)t+B/z=0.

Корни существуют, если дискриминант неотрицательный:

(A-z)²-4B/z>=0

Заметим, что если зафиксировать, например, z=-B, неравенство примет вид

(A+В)²+4>=0 - верно при любых действительных А и В. А значит при таком выборе z для любых допустимых значений А и В найдутся действительные числа x и y, удовлетворяющие исходному условию.

2) В=0 => без ограничения общности, считаем z=0 => условия равносильны уравнению x+y=A. Зафиксировав, например, x=0, получаем y=-A. То есть для любого А найдутся действительные числа x,y,z, удовлетворяющие условию.

Отсюда следует, что ответ на все пункты задачи "Да"

Answer 2

Да, существуют такие числа x, y и z, которые удовлетворяют данным условиям. Давайте посмотрим на каждое из уравнений:

a. xyz = 6

В этом случае мы ищем три числа, произведение которых равно 6. Одним из способов решения этой задачи является использование следующих чисел:

x = 1, y = 2, z = 3

Проверка: 1 * 2 * 3 = 6, и сумма x + y + z равна 1 + 2 + 3 = 6.

b. xyz = 9

Аналогично, мы ищем три числа, произведение которых равно 9. Можно использовать следующие числа:

x = 1, y = 3, z = 3

Проверка: 1 * 3 * 3 = 9, и сумма x + y + z равна 1 + 3 + 3 = 7.

c. xyz = 8

Для этой задачи, можно взять:

x = 2, y = 2, z = 2

Проверка: 2 * 2 * 2 = 8, и сумма x + y + z равна 2 + 2 + 2 = 6.

d. xyz = 7

Для этой задачи, можно взять:

x = 1, y = 1, z = 7

Проверка: 1 * 1 * 7 = 7, и сумма x + y + z равна 1 + 1 + 7 = 9.

Таким образом, существуют различные наборы действительных чисел x, y и z, которые удовлетворяют данным условиям для каждого из уравнений a, b, c и d.