Question

Вычислите sin⁡2α, если sin⁡ α+cos⁡ α=1/5

Answer 1

Решение в приложении
.......................................

Answer 2

Мы можем воспользоваться идентичностью тригонометрии $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, чтобы найти значение $\sin^2 \alpha$, и затем использовать это значение для вычисления $\sin^2 2\alpha$.

Известно, что $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{5}$.

Мы можем возвести обе части этого уравнения в квадрат:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2$

Раскроем левую часть:

$\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{25}$

Теперь, используя идентичность $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, можем выразить $\sin^2 \alpha$:

$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{25}$

$2 \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{24}{25}$

$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{12}{25}$

Теперь мы можем использовать удвоенный угол $\sin$ и идентичность $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{12}{25}\right) = -\frac{24}{25}$

Таким образом, $\sin^2 2\alpha = \left(-\frac{24}{25}\right)^2 = \frac{576}{625}$.