Question

Интегралл от 0 до 2pi sin(x+pi/3)dx Решите пожалуйста

Answer 1

$\int\limits^{2 \pi }_{0} {sin(x+ \frac{ \pi }{3} }) \, dx=-cos(x+ \frac{ \pi }{3} })\ |^{ 2 \pi}_0=-cos(2 \pi+ \frac{ \pi }{3})-(-cos( \frac{ \pi }{3}))=\\= -cos(\frac{7 \pi}{3})+cos( \frac{\pi}{3})= -\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}=0$

Answer 2

Для решения данного интеграла, вам нужно применить технику интегрирования функции синуса. Вот как это можно сделать:

∫[0 to 2π] sin(x + π/3) dx

Для начала, воспользуемся тригонометрическим тождеством:

sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)

В нашем случае, a = x, b = π/3:

sin(x + π/3) = sin(x) * cos(π/3) + cos(x) * sin(π/3)

Теперь проведем интегрирование:

∫[0 to 2π] sin(x + π/3) dx = ∫[0 to 2π] (sin(x) * cos(π/3) + cos(x) * sin(π/3)) dx

Так как cos(π/3) = 1/2 и sin(π/3) = √3/2, получим:

∫[0 to 2π] sin(x + π/3) dx = (1/2) * ∫[0 to 2π] sin(x) dx + (√3/2) * ∫[0 to 2π] cos(x) dx

Теперь проинтегрируем оба слагаемых:

∫[0 to 2π] sin(x) dx = [-cos(x)] [от 0 до 2π] = -cos(2π) + cos(0) = -1 + 1 = 0

∫[0 to 2π] cos(x) dx = [sin(x)] [от 0 до 2π] = sin(2π) - sin(0) = 0 - 0 = 0

Подставим значения обратно:

∫[0 to 2π] sin(x + π/3) dx = (1/2) * ∫[0 to 2π] sin(x) dx + (√3/2) * ∫[0 to 2π] cos(x) dx = (1/2) * 0 + (√3/2) * 0 = 0

Таким образом, интеграл ∫[0 to 2π] sin(x + π/3) dx равен нулю.