Question

Я решила уравнение Sqrt(sin(x)+2cos(2x))-sqrt(2)cos2x=0 У меня получились такие корни: X=pi*n X=2pi*n-9pi/10 X=2pi*n-pi/10 X=2pi*n-5pi/6 X=2pi*n-pi/6 Нужно найти корни на отрезке [-pi;pi] Помогите:(

Answer 1

Давайте рассмотрим уравнение, которое вы предоставили:

\[ \sqrt{\sin(x) + 2\cos(2x)} - \sqrt{2}\cos(2x) = 0 \]

Для решения уравнения давайте введем обозначения:

\[ a = \sqrt{\sin(x) + 2\cos(2x)} \] \[ b = \sqrt{2}\cos(2x) \]

Тогда уравнение примет вид:

\[ a - b = 0 \]

Теперь мы можем возвести обе стороны уравнения в квадрат:

\[ a^2 = b^2 \]

Подставим значения \( a \) и \( b \):

\[ \sin(x) + 2\cos(2x) = 2\cos^2(2x) \]

Теперь решим это уравнение. Сначала преобразуем косинус:

\[ \cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2} \]

Подставим это обратно в уравнение:

\[ \sin(x) + 2\cos(2x) = 2\left(\frac{1 + \cos(4x)}{2}\right) \]

Упростим:

\[ \sin(x) + \cos(4x) + 1 = 1 + \cos(4x) \]

Теперь уберем одинаковые слагаемые с обеих сторон уравнения:

\[ \sin(x) = 0 \]

Таким образом, у нас есть корни уравнения \(\sin(x) = 0\) на отрезке \([- \pi; \pi]\). Эти корни равны \(x = -\pi, 0, \pi\).

Проверим корни наше исходного уравнения:

\[ \sqrt{\sin(x) + 2\cos(2x)} - \sqrt{2}\cos(2x) = 0 \]

1. При \(x = -\pi\): \[ \sqrt{\sin(-\pi) + 2\cos(2(-\pi))} - \sqrt{2}\cos(2(-\pi)) \] \[ \sqrt{0 + 2\cos(0)} - \sqrt{2}\cos(0) = 0 \]

2. При \(x = 0\): \[ \sqrt{\sin(0) + 2\cos(2 \cdot 0)} - \sqrt{2}\cos(2 \cdot 0) \] \[ \sqrt{0 + 2\cos(0)} - \sqrt{2}\cos(0) = 0 \]

3. При \(x = \pi\): \[ \sqrt{\sin(\pi) + 2\cos(2\pi)} - \sqrt{2}\cos(2\pi) \] \[ \sqrt{0 + 2\cos(0)} - \sqrt{2}\cos(0) = 0 \]

Таким образом, все три корня подходят под условия исходного уравнения.