Question

Здравствуйте!!! Не поможете решить задачу? Монета подбрасывается до появления серии орёл - решка - орёл. Какова вероятность того что монета будет подброшена нечетное количество раз?

Answer 1

Обозначим эту вероятность как p, тогда вероятность, что монета будет подброшена четное число раз, равна 1 - p (очевидно, вероятность того, что подбрасывания не закончатся никогда, равна нулю).

Перебираем подходящие варианты:
– выпало ОО...ОРО, сначала 1, 3, 5, ... О, затем РО (всего 3, 5, 7, ... подбрасываний). Вероятность этого равна сумме членов геометрической прогрессии
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\left(\frac12\right)^{2n+1}=\frac16$

– выпало сначала ОО...ОРР – 2, 4, 6, ... О, затем РР (всего 4, 6, 8, ... подбрасываний), – а потом за нечетное число подбрасываний выпало ОРО. Вероятность этого:
$\displaystyle \sum_{n=2}^\infty\left(\frac12\right)^{2n}p=\frac p{12}$

– выпало сначала ОО...ОРР – 1, 3, 5, ... О, затем РР (всего 3, 5, 7, ... подбрасываний), – а потом за четное число подбрасываний выпало ОРО. Вероятность этого:
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\left(\frac12\right)^{2n+1}(1-p)=\frac {1-p}{6}$

– сразу выпало Р, а после этого ОРО за чётное число подбрасываний, вероятность:
$\dfrac12\cdot(1-p)$

Это все возможные варианты. По формуле полной вероятности
$p=\dfrac16+\dfrac p{12}+\dfrac{1-p}6+\dfrac{1-p}{2}$

Решаем полученное уравнение и находим p = 10/19.

Answer 2

Здравствуйте! Конечно, я помогу вам решить задачу.

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим все возможные сценарии подбрасываний монеты до появления серии "орёл - решка - орёл".

Есть только два возможных исхода в каждом подбрасывании: "орёл" или "решка". Так как серия должна закончиться "орлом", то последнее подбрасывание обязательно должно быть "орлом".

Давайте обозначим "О" - подбрасывание "орла" и "Р" - подбрасывание "решки".

Возможные сценарии для серии "О - Р - О" (последнее подбрасывание - орёл):

1. О
2. РО
3. РРО
4. ОРО
5. РОРО
6. РРРО
7. ОРРО
8. ООРО
9. РООРО ...

Так как каждое подбрасывание монеты равновероятно (вероятность "орла" и "решки" равны), то вероятность каждого сценария равна 1/2^(n), где n - количество подбрасываний в сценарии.

Теперь мы видим, что все возможные сценарии могут быть разделены на группы с нечетным количеством подбрасываний (1, 3, 5 и т.д.). Вероятность каждой группы можно сложить для получения вероятности получить нечетное количество подбрасываний.

Вероятность для группы с 1 подбрасыванием: 1/2 Вероятность для группы с 3 подбрасываниями: 1/2^3 = 1/8 Вероятность для группы с 5 подбрасываниями: 1/2^5 = 1/32 И так далее...

Теперь сложим вероятности для всех групп нечетного количества подбрасываний: 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... + 1/2^n

Это бесконечная геометрическая прогрессия. Формула для суммы такой прогрессии:

Сумма = a / (1 - r)

где "a" - первый член прогрессии, "r" - знаменатель прогрессии (в данном случае 1/2).

Таким образом, вероятность получить нечетное количество подбрасываний:

Сумма = 1/2 / (1 - 1/2) = 1/2 / 1/2 = 1

Итак, вероятность того, что монета будет подброшена нечетное количество раз, равна 1.