Question

Комплексные числа Вычислите z=(-1-i)^7.

Answer 1

$(-1-i)^7=((-1-i)^2)^3(-1-i)=(1+i^2+2i)^3(-1-i)=\\\\=(2i)^3(-1-i)=-8i(-1-i)=-8+8i$

Answer 2

Для вычисления выражения z=(-1-i)^7, нужно выполнить возведение в седьмую степень комплексного числа (-1-i).

Сначала, для удобства, запишем комплексное число (-1-i) в алгебраической форме:

-1 - i

Теперь, чтобы возвести это число в седьмую степень, воспользуемся формулой показательной записи комплексного числа:

(a + bi)^n = r^n * (cos(nθ) + i * sin(nθ))

Где: a = -1 (вещественная часть числа) b = -1 (мнимая часть числа) n = 7 (степень) r = |z| = √(a^2 + b^2) = √((-1)^2 + (-1)^2) = √(1 + 1) = √2 θ = arg(z) = arctan(b/a) = arctan((-1)/(-1)) = arctan(1) = π/4

Теперь можем вычислить:

z = (-1 - i)^7 = (√2)^7 * [cos(7 * π/4) + i * sin(7 * π/4)]

Так как cos(7 * π/4) = cos(π + π/4) = -cos(π/4) = -(1/√2) и sin(7 * π/4) = sin(π + π/4) = sin(π/4) = 1/√2, подставим значения:

z = (√2)^7 * (-(1/√2) + i * (1/√2))

Возводим в степень и упрощаем:

z = 2^7 * (-(1/√2) + i * (1/√2))

z = 128 * (-(1/√2) + i * (1/√2))

Теперь упростим дробь:

z = 128 * ((-√2)/(2) + i * (√2)/(2))

z = 128 * ((-√2 + i√2)/2)

z = 128 * (i√2 - √2)/2

И, наконец, упростим:

z = 64i√2 - 64√2

Таким образом, результат выражения z=(-1-i)^7 равен 64i√2 - 64√2.