Question

Помогите решить интеграл, пожалуйста 1/(sin^2(x)+sinx)

Answer 1

Ответ см. в скане........................

Answer 2

Для решения данного интеграла воспользуемся заменой переменной. Пусть $u = \sin(x)$, тогда $du = \cos(x)dx$.

Теперь выразим $\sin^2(x)$ и $\sin(x)$ через $u$: $\sin^2(x) = (\sin(x))^2 = u^2,$ $\sin(x) = u.$

Таким образом, интеграл принимает вид: $\int \frac{1}{\sin^2(x) + \sin(x)}dx = \int \frac{1}{u^2 + u}du.$

Разложим дробь на простые дроби: $\frac{1}{u^2 + u} = \frac{A}{u} + \frac{B}{u + 1},$

где $A$ и $B$ - неизвестные коэффициенты. Найдем их.

$\frac{1}{u^2 + u} = \frac{A}{u} + \frac{B}{u + 1}.$

Умножим обе части уравнения на $u(u+1)$:

$1 = A(u+1) + Bu.$

Подставим значения $u = 0$ и $u = -1$, чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$:

$u = 0: \quad 1 = A(0 + 1) + B \cdot 0 \quad \Rightarrow \quad A = 1,$ $u = -1: \quad 1 = A(-1 + 1) + B \cdot (-1) \quad \Rightarrow \quad B = -1.$

Теперь перепишем интеграл с учетом разложения:

$\int \frac{1}{u^2 + u}du = \int \left(\frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1}\right)du.$

Проинтегрируем по отдельности:

$\int \frac{1}{u}du - \int \frac{1}{u + 1}du = \ln|u| - \ln|u + 1| + C.$

Вернемся к исходной переменной $x$:

$\int \frac{1}{\sin^2(x) + \sin(x)}dx = \ln|\sin(x)| - \ln|\sin(x) + 1| + C.$

Таким образом, окончательный ответ:

$\int \frac{1}{\sin^2(x) + \sin(x)}dx = \ln|\sin(x)| - \ln|\sin(x) + 1| + C,$

где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.