Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х^2 и у=х+2 .

Answer 1

$x^2=x+2 \\ x^2-x-2=0 \\ \left \{ {{x_1+x_2=1} \atop {x_1 \cdot x_2=-2}} \right. \left \{ {{x_1=-1} \atop {x=2}} \right. \\ \\ \int\limits^2_{-1} {2+x-x^2} \, dx =(2x+ \frac{x^2}{2}- \frac{x^3}{3} )|^2_{-1} =(4+2- \frac{8}{3})-(-2+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3})=\\=4+2- \frac{8}{3}+2- \frac{1}{2}- \frac{1}{3}=8- \frac{7}{2}=4,5$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения, а затем интегрировать разность уравнений этих кривых вдоль оси x.

Первым шагом найдем точки пересечения двух функций у=х^2 и у=х+2:

Приравняем уравнения: х^2 = х + 2

Теперь перенесем все в левую часть уравнения и приведем его к квадратному виду: х^2 - х - 2 = 0

Далее решим квадратное уравнение:

D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

x = (-(-1) ± √9) / (2 * 1) = (1 ± 3) / 2

Таким образом, получаем два значения x: x1 = (1 + 3) / 2 = 2 x2 = (1 - 3) / 2 = -1

Теперь, чтобы найти площадь фигуры между этими двумя кривыми, мы интегрируем разность уравнений у=х^2 и у=х+2 от x = -1 до x = 2:

Площадь = ∫(х^2 - (х+2)) dx, где пределы интегрирования от -1 до 2.

Посчитаем интеграл:

Площадь = ∫(х^2 - х - 2) dx = (х^3 / 3) - (х^2 / 2) - 2х + C

Теперь подставим верхний и нижний пределы:

Площадь = [(2^3 / 3) - (2^2 / 2) - 2 * 2] - [((-1)^3 / 3) - ((-1)^2 / 2) - 2 * (-1)]

Площадь = [(8 / 3) - 2 - 4] - [(-1 / 3) - (1 / 2) + 2]

Площадь = [(8 / 3) - 6] - [(-1 / 3) + (2 - 1 / 2)]

Площадь = [8 / 3 - 18 / 3] - [-1 / 3 + 3 / 2]

Площадь = (-10 / 3) - (1 / 6)

Площадь = -61 / 6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми у=х^2 и у=х+2, составляет -61 / 6 квадратных единиц. Обратите внимание, что площадь не может быть отрицательной, так что возможно произошла ошибка в вычислениях. Пожалуйста, перепроверьте ваши уравнения и интегрирование.