Question

Студент выучил 12 из 26 вопросов. Какова вероятность того, что из предложенных 9 вопросов он знает ответ на 6?

Answer 1

Посчитаем сколькими способами студент из предложенных 9 вопросов знает ответ на 6 вопросов.

Студент знает ответ на 6 вопросов -  $C^6_{12}= \dfrac{12!}{6!6!} =924$ способами, а не знает на 3 вопроса -  $C^3_{14}= \dfrac{14!}{11!3!} =364$ способами

По правилу произведения:  $924\cdot364=336336$ способами

Искомая вероятность:   $P= \dfrac{336336}{C^9_{26}} = \dfrac{336336}{3124550} \approx0.11$

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой условной вероятности. Пусть событие A - студент знает ответ на 6 вопросов из 9, а событие B - студент выучил 12 из 26 вопросов. Тогда нам нужно найти вероятность того, что студент знает ответ на 6 вопросов при условии, что он выучил 12 из 26 вопросов, т.е. P(A|B).

Формула условной вероятности: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B),

где P(A ∩ B) - вероятность одновременного наступления событий A и B, P(B) - вероятность наступления события B.

Мы знаем, что студент знает ответ на 6 вопросов из 9, это означает, что он правильно ответил на 6 вопросов и неправильно ответил на оставшиеся 3 вопроса (поскольку 9 - 6 = 3). При условии, что он выучил 12 из 26 вопросов, это означает, что он неправильно ответил на 26 - 12 = 14 вопросов.

Теперь вычислим вероятности:

P(A ∩ B) - вероятность того, что студент знает ответ на 6 вопросов и выучил 12 из 26: P(A ∩ B) = (количество способов выбрать 6 правильных ответов из 12) * (количество способов выбрать 3 неправильных ответа из 14) / (общее количество способов выбрать 9 вопросов из 26):

P(A ∩ B) = (C(12, 6) * C(14, 3)) / C(26, 9).

где C(n, k) - количество способов выбрать k элементов из n.

P(B) - вероятность того, что студент выучил 12 из 26 вопросов: P(B) = (количество способов выбрать 12 правильных ответов из 26) * (количество способов выбрать 14 неправильных ответа из 26) / (общее количество способов выбрать 26 вопросов из 26):

P(B) = (C(26, 12) * C(26, 14)) / C(26, 26).

Теперь мы можем вычислить P(A|B):

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).

После подстановки значений и вычислений получим окончательный ответ.