Question

7. Діагональ бічної грані правильної трикутної призми дорівнює d і утворює кут а з бічним ребром. Знайдіть об'єм призми. 8. Навколо кулі описано циліндр, площа поверхні якого дорівнює 18. Знайдіть площу поверхні кулі.​

Answer 1

Правильна трикутна призма має трикутну основу, у якої всі сторони та кути рівні між собою. Отже, бічна грань такої призми також є правильним трикутником.
Нехай сторона основи трикутника дорівнює a, а висота призми дорівнює h. Тоді діагональ бічної грані можна представити як гіпотенузу прямокутного трикутника з катетами, які дорівнюють a та h.

З огляду на те, що бічна грань є правильним трикутником, кут між діагоналлю та бічним ребром дорівнює 60 градусів.

Отже, ми маємо наступну інформацію:

Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює d.
Кут між гіпотенузою та одним з катетів дорівнює 60 градусів.
З цього можна знайти довжину кожного катета, використовуючи формулу трикутного тангенсу:

tg(60 градусів) = h / (a/2)

tg(60 градусів) = √3

h / (a/2) = √3

h = (√3) * (a/2)

Тепер ми можемо знайти об'єм призми, використовуючи формулу:

V = S * h,

де S - площа основи, а h - висота призми.

Оскільки основа - рівносторонній трикутник, то можемо знайти його площу:

S = (a^2 * √3) / 4

Тоді об'єм призми буде:

V = S * h = ((a^2 * √3) / 4) * ((√3) * (a/2)) = (a^3 * √3) / 6

Отже, об'єм призми дорівнює (a^3 * √3) / 6.

Нехай радіус описаної кулі дорівнює R, а висота циліндра дорівнює h. Тоді площа поверхні циліндра може бути визначена як:
S = 2πR

Answer 2

7. Щоб знайти об'єм призми, необхідно знати довжину бічного ребра та діагональ бічної грані. Оскільки діагональ бічної грані дорівнює d і утворює кут а з бічним ребром, ми можемо використати формулу об'єму правильної трикутної призми: V = (1/4) * d^2 * cot(a),

де cot(a) - котангенс кута а.

8. Площа поверхні циліндра, описаного навколо кулі, дорівнює 18. Щоб знайти площу поверхні кулі, скористаємося відомим співвідношенням між площами поверхні кулі і циліндра:

S_кулі = 2 * S_циліндра,

де S_кулі - площа поверхні кулі, а S_циліндра - площа поверхні циліндра.

Отже, площа поверхні кулі дорівнює половині площі поверхні циліндра, тобто 18/2 = 9.