Question

Найти производную функции 1. (tg 4x)' 2. (ctg^3 5x)' 3. (x - cos 2x)' 4. (sin^2 x - cos^2 x)' 5. (x^2 - 1) * ln x^3

Answer 1

1. 1/cos^2 4x * 4

2. - 3*ctg^2 5x * 1/sin^2 5x * 5

3. 1 + sin 2x * 2

4.  ?

5. (x^2 - 1)' * (ln x^3) + (ln x^3)' * (x^2 - 1) = 2x * ln x^3 + 1/3x^2 * (x^2 - 1)

Answer 2

Для нахождения производных данных функций, мы будем использовать общие правила дифференцирования. Для вашего удобства, я приведу результаты для каждой функции:

1. $(\tan 4x)'$ Применяем правило дифференцирования сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$, где $f(u) = \tan u$ и $g(x) = 4x$. $(\tan 4x)' = \sec^2(4x) \cdot 4 = 4\sec^2(4x)$.

2. $(\cot^3 5x)'$ Аналогично, применяем правило дифференцирования сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$, где $f(u) = \cot^3 u$ и $g(x) = 5x$. $(\cot^3 5x)' = 3\cot^2(5x) \cdot (\cot(5x))' = 3\cot^2(5x) \cdot (-\csc^2(5x) \cdot 5) = -15\cot^2(5x)\csc^2(5x)$.

3. $(x - \cos 2x)'$ Здесь у нас просто разность двух функций, поэтому мы просто дифференцируем каждую по отдельности. $(x - \cos 2x)' = 1 - (-\sin 2x \cdot 2) = 1 + 2\sin 2x$.

4. $(\sin^2 x - \cos^2 x)'$ Здесь у нас разность двух функций. Вспомним формулу для производной синуса и косинуса: $(\sin u)' = \cos u$ и $(\cos u)' = -\sin u$. $(\sin^2 x - \cos^2 x)' = (2\sin x \cdot \cos x) - (-2\cos x \cdot \sin x) = 4\sin x \cdot \cos x$.

5. $(x^2 - 1) \cdot \ln(x^3)'$ Здесь у нас произведение двух функций. Применим правило производной произведения: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$, где $f(x) = x^2 - 1$ и $g(x) = \ln(x^3)$. $(x^2 - 1) \cdot \ln(x^3)' = (2x) \cdot \ln(x^3) + (x^2 - 1) \cdot \frac{1}{x^3} \cdot 3x^2 = 2x \ln(x^3) + 3x^2 - \frac{3x^2}{x^3} = 2x \ln(x^3) + 3x^2 - 3$