Question

Мистер Фокс нарисовал квадрат со стороной 1. Затем он разделил обе его горизонтальные стороны на 120 равных частей и провел 119 вертикальных отрезков, соединяющих соответствующие точки. После этого он разбил обе вертикальные стороны на 80 равных частей и провел горизонтальные отрезки, соединяющие соответствующие точки. Сколько разных (то есть имеющих разные стороны) квадратов можно увидеть на получившемся рисунке? Разные квадраты - это квадраты разного размера

Answer 1

Ответ:

40 квадратов

Пошаговое объяснение:

Сторона квадрата равна 1.

У квадрата равные стороны. Эти стороны разделены на равные по величине отрезки.

Горизонтальные стороны - на 120 равных частей (1:120= 1/120 - длина одной горизонтальной части)

вертикальные стороны - на 80 равных частей  (1:80=1/80 - длина одной вертикальной части)

найдем отношение длин маленьких отрезков:

1/80 : 1/120 = 1/2 : 1/3 ⇔ 2:3 - отношение длин отрезков

Т.е. 2 части по 1/80 вертикальной стороны соответствуют по величине 3 частям по 1/120 горизонтальной стороны

2/80 = 3/120 ⇔ 2/80 х 3/120 - самый маленький квадрат

Если добавлять каждый раз с вертикальной стороны по 2 отрезка (2*1/80=2/80), а с горизонтальной стороны по 3 отрезка (3*1/120=3/120), получим последовательность увеличивающихся в размере квадратов, самый большой из которых  - исходный, со стороной 80/80 (или 120/120)

2/80 х 3/120 - самый маленький квадрат

(2/80+2/80) х (3/120+3/120) = 4/80 х 6/120 - второй квадрат

(4/80+2/80) х (6/120+3/120) = 6/80 х 9/120 - третий квадрат

(6/80+2/80) х (9/120+3/120) = 8/80 х 12/120 - четвертый квадрат

(8/80+2/80) х (12/120+3/120) = 10/80 х 15/120 - пятый квадрат

и т. д.

80/80 х 120/120 - самый большой квадрат (исходный со стороной 1х1)

Следовательно длины сторон новых квадратов увеличиваются согласно закону арифметической прогрессии.

an = a₁ + (n-1)*d  - формула n-го члена арифметической прогрессии.

Посчитаем количество квадратов по вертикальной стороне

an = 80/80 = 1 - последний (n-й) член ариф. прогрессии

a₁= 2/80 - первый член ариф. прогрессии (для вертикальной стороны)

d = 2/80 - разность ариф. прогрессии (для вертикальной стороны)

n - количество членов ариф. прогрессии (количество квадратов)

an = a₁ + (n-1)*d

1 = 2/80 + (n-1)*2/80

1 = 2/80 + (2/80)*n - 2/80

1 = (2/80)*n

n = 1 : (2/80) = 1*80/2 = 40 - количество членов ариф. прогрессии (количество квадратов)

Проверка!!!

Посчитаем количество квадратов по горизонтальной стороне стороне

an = 120/120 = 1 - последний (n-й) член ариф. прогрессии

a₁= 3/120 -первый член ариф. прогрессии (для горизонтальной стороны)

d = 3/120 - разность ариф. прогрессии (для горизонтальной стороны)

n - количество членов ариф. прогрессии (количество квадратов)

an = a₁ + (n-1)*d

1 = 3/120 + (n-1)*3/120

1= 3/120 + (3/120)*n - 3/120

1 = (3/120)*n

n = 1 : (3/120) = 1*120/3 = 40 - количество членов ариф. прогрессии (количество квадратов) - ВЕРНО

Ответ: 40 квадратов

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся с шагами, которые прошел Мистер Фокс, и определим количество разных квадратов на получившемся рисунке.

Шаг 1: Мистер Фокс нарисовал квадрат со стороной 1 и разделил его горизонтальные стороны на 120 равных частей.

Если у нас есть квадрат со стороной 1, и мы разделим его горизонтальные стороны на 120 равных частей, то получим 121 горизонтальный отрезок, включая стороны квадрата.

Шаг 2: Затем Мистер Фокс провел 119 вертикальных отрезков, соединяющих соответствующие точки на горизонтальных сторонах.

Таким образом, он создал сетку из 120x120 маленьких квадратов.

Шаг 3: Мистер Фокс разделил обе вертикальные стороны на 80 равных частей.

Каждый маленький квадрат теперь разделен на 80x80 еще более маленьких квадратов.

Шаг 4: Он провел горизонтальные отрезки, соединяющие соответствующие точки на вертикальных сторонах.

Теперь каждый из этих маленьких квадратов разбит на более мелкие квадраты.

Чтобы вычислить количество разных квадратов, нам нужно посчитать, сколько квадратов каждого размера есть на рисунке. Начнем с самых маленьких квадратов и постепенно будем двигаться к большим.

1. Количество квадратов размера 1x1: Всего 120x120 таких квадратов.

2. Количество квадратов размера 2x2: Таких квадратов будет на один меньше в каждом измерении (119x119).

3. Количество квадратов размера 3x3: Таких квадратов будет на два меньше в каждом измерении (118x118).

И так далее...

Таким образом, количество разных квадратов на рисунке будет равно:

120x120 + 119x119 + 118x118 + ... + 2x2 + 1x1

Для нахождения суммы такой последовательности можно использовать формулу суммы квадратов первых n натуральных чисел:

Сумма = n(n + 1)(2n + 1) / 6

В нашем случае n = 120. Подставим значения:

Сумма = 120(120 + 1)(2120 + 1) / 6 = 120121241 / 6 = 120241*40 = 1154400

Таким образом, на получившемся рисунке можно увидеть 1 154 400 разных квадратов.