Question

Мистер Том нарисовал квадрат со стороной 1. Затем он разделил обе его горизонтальные стороны на 120 равных частей и провел 119 вертикальных отрезков, соединяющих соответствующие точки. После этого он разбил обе вертикальные стороны на 150 равных частей и провел горизонтальные отрезки, соединяющие соответствующие точки. Сколько разных (то есть имеющих разные стороны) квадратов можно увидеть на получившемся рисунке? Разные квадраты - это квадраты разного размера

Answer 1

У квадрата все стороны равны
если мы его разделим прямыми но при этом вертикальных и горизонтальных линий разное количество тогда у нас получается прямоугольники, а не квадратов
горизонтальный линии прямоугольников будут равные 1/120 стороне первоначального квадрата
вертикальные 1/150 стороне первоначального квадрата
это разные длины и значит мы получили не квадраты а прямоугольники
поэтому ответ 0

Answer 2

Первоначальный квадрат со стороной 1 разбивается на 120x120 маленьких квадратов. Затем каждый из этих маленьких квадратов разбивается на 150x150 еще более маленьких квадратов. Таким образом, на получившемся рисунке будет $(120-1)\cdot 120^2\cdot (150-1)\cdot 150^2$ квадратов.

Теперь рассмотрим, сколько из этих квадратов будут иметь разные размеры. Любой квадрат на рисунке будет иметь сторону, равную длине одного из горизонтальных отрезков или вертикальных отрезков. Рассмотрим квадрат со стороной $n$ (где $n$ — целое число). Он может быть образован из $m$ горизонтальных отрезков (которые имеют длину $\frac{1}{120}$), и $m$ вертикальных отрезков (которые имеют длину $\frac{1}{150}$), где $m$ — целое число, такое что $m\leq \min(120n, 150n)$. То есть, каждый квадрат со стороной $n$ будет иметь $m$ возможных различных положений. Заметим, что если $m_1 < m_2$, то квадрат со стороной $n$, полученный из $m_1$ отрезков, не совпадет с квадратом со стороной $n$, полученным из $m_2$ отрезков. Таким образом, число различных квадратов, которые можно увидеть на рисунке, будет равно $\sum_{n=1}^{120}\sum_{m=1}^{\min(120n, 150n)} [m\cdot \frac{1}{120}=n]\cdot [m\cdot \frac{1}{150}=n]\cdot 1$ где $[\cdot]$ обозначает символ Импликации, который равен 1, если условие в квадратных скобках истинно, и равен 0 в противном случае.

Таким образом, мы сначала суммируем по всем целым $n$ от 1 до 120, затем суммируем по всем целым $m$ от 1 до $\min(120n, 150n)$, для которых $\frac{m}{120} = \frac{n}{150}$. Эта последняя условная часть эквивалентна тому, что $m= \frac{120n}{150}k$ для некоторого целого $k$. Тогда $k$ должно быть таким, чтобы $1 \leq k \leq \frac{150