Question

• Мистер Фокс нарисовал квадрат со стороной 1. Затем он разделил обе его горизонтальные стороны на 120 равных частей и провел 119 вертикальных отрезков, соединяющих соответствующие точки. После этого он разбил обе вертикальные стороны на 110 равных частей и провел горизонтальные отрезки, соединяющие соответствующие точки. Сколько разных (то есть имеющих разные стороны) квадратов можно увидеть на получившемся рисунке?

Answer 1

Ответ:

10 квадратов

Пошаговое объяснение:

Сторона квадрата равна 1.

У квадрата равные стороны. Эти стороны разделены на равные по величине отрезки.

Горизонтальные стороны - на 120 равных частей (1:120= 1/120 - длина одной горизонтальной части)

вертикальные стороны - на 110 равных частей  (1:110=1/110 - длина одной вертикальной части)

найдем отношение длин маленьких отрезков:

1/110 : 1/120 = 1/11 : 1/12 ⇔ 11:12 - отношение длин отрезков

Т.е. 11 части по 1/110 вертикальной стороны соответствуют по величине 12 частям по 1/120 горизонтальной стороны

11/110 = 12/120 ⇔ 11/110 х 12/120 - самый маленький квадрат

Если добавлять каждый раз с вертикальной стороны по 11 отрезков (11*1/110=11/110), а с горизонтальной стороны по 12 отрезков (12*1/120=12/120), получим последовательность увеличивающихся в размере квадратов, самый большой из которых  - исходный, со стороной 110/110 (или 120/120)

11/110 х 12/120 - самый маленький квадрат

(11/110 + 11/110) х (12/120+12/120) = 22/110 х 24/120 - второй квадрат

(22/110 + 11/110) х (24/120+12/120) = 33/110 х 36/120 - третий квадрат

(33/110 + 11/110) х (36/120+12/120) = 44/110 х 48/120 - четвертый квадрат

(44/110+11/110) х (48/120+12/120) = 55/110 х 60/120 - пятый квадрат

и т. д.

110/110 х 120/120 -самый большой квадрат (исходный, со стороной 1х1)

Следовательно длины сторон новых квадратов увеличиваются согласно закону арифметической прогрессии.

an = a₁ + (n-1)*d  - формула n-го члена арифметической прогрессии.

Посчитаем количество квадратов по вертикальной стороне

an = 110/110 = 1 - последний (n-й) член ариф. прогрессии

a₁= 11/110 - первый член ариф. прогрессии (для вертикальной стороны)

d = 11/110 - разность ариф. прогрессии (для вертикальной стороны)

n - количество членов ариф. прогрессии (количество квадратов)

an = a₁ + (n-1)*d

1 = 11/110 + (n-1)*11/110

1 = 11/110 + (11/110)*n - 11/110

1 = (11/110)*n

n = 1 : (11/110) = 1*110/11 = 10 - количество членов ариф. прогрессии (количество квадратов)

Проверка!!!

Посчитаем количество квадратов по горизонтальной стороне стороне

an = 120/120 = 1 - последний (n-й) член ариф. прогрессии

a₁= 12/120 -первый член ариф. прогрессии (для горизонтальной стороны)

d = 12/120 - разность ариф. прогрессии (для горизонтальной стороны)

n - количество членов ариф. прогрессии (количество квадратов)

an = a₁ + (n-1)*d

1 = 12/120 + (n-1)*12/120

1= 12/120 + (12/120)*n - 12/120

1 = 12/120*n

n = 1 : (12/120) = 1*120/12 = 10 - количество членов ариф. прогрессии (количество квадратов) - ВЕРНО

Ответ: 10 квадратов

Answer 2

Давайте рассмотрим пошагово процесс создания рисунка и определим, сколько разных квадратов можно увидеть.

1. Мистер Фокс начинает с квадрата со стороной 1.

2. Он разделяет горизонтальные стороны квадрата на 120 равных частей, что создает 121 точку (включая угловые точки).

3. Затем он проводит 119 вертикальных отрезков, соединяющих соответствующие точки на верхней и нижней горизонтальных сторонах.

4. После этого он разбивает вертикальные стороны на 110 равных частей, что создает 111 точек (включая угловые точки).

5. Затем он проводит горизонтальные отрезки, соединяющие соответствующие точки на левой и правой вертикальных сторонах.

Теперь рассмотрим возможные варианты квадратов на получившемся рисунке:

• Квадраты, полностью охватывающие исходный квадрат со стороной 1. Их всего один.

• Квадраты, которые охватывают только верхнюю или нижнюю горизонтальные стороны, но не охватывают вертикальные стороны. Их также всего один.

• Квадраты, которые охватывают только левую или правую вертикальную сторону, но не охватывают горизонтальные стороны. Их также всего один.

• Квадраты, которые охватывают обе горизонтальные стороны и одну из вертикальных сторон. В этом случае, каждая вертикальная сторона может быть выбрана из 119 возможных отрезков, и поскольку у нас есть 2 горизонтальные стороны, всего таких квадратов будет 119 * 2 = 238.

• Квадраты, которые охватывают обе вертикальные стороны и одну из горизонтальных сторон. Аналогично, каждая горизонтальная сторона может быть выбрана из 111 возможных отрезков, и поскольку у нас есть 2 вертикальные стороны, всего таких квадратов будет 111 * 2 = 222.

• Квадраты, которые охватывают все четыре стороны, но не совпадают с исходным квадратом со стор