Question

Мистер Фокс нарисовал квадрат со стороной 1. Затем он разделил обе его горизонтальные стороны на 120 равных частей и провел 119 вертикальных отрезков, соединяющих соответствующие точки. После этого он разбил обе вертикальные стороны на 110 равных частей и провел горизонтальные отрезки, соединяющие соответствующие точки. Сколько разных (то есть имеющих разные стороны) квадратов можно увидеть на получившемся рисунке? Разные квадраты - это квадраты разного размера

Answer 1

Ответ:

10 квадратов

Пошаговое объяснение:

Сторона квадрата равна 1.

У квадрата равные стороны. Эти стороны разделены на равные по величине отрезки.

Горизонтальные стороны - на 120 равных частей (1:120= 1/120 - длина одной горизонтальной части)

вертикальные стороны - на 110 равных частей  (1:110=1/110 - длина одной вертикальной части)

найдем отношение длин маленьких отрезков:

1/110 : 1/120 = 1/11 : 1/12 ⇔ 11:12 - отношение длин отрезков

Т.е. 11 части по 1/110 вертикальной стороны соответствуют по величине 12 частям по 1/120 горизонтальной стороны

11/110 = 12/120 ⇔ 11/110 х 12/120 - самый маленький квадрат

Если добавлять каждый раз с вертикальной стороны по 11 отрезков (11*1/110=11/110), а с горизонтальной стороны по 12 отрезков (12*1/120=12/120), получим последовательность увеличивающихся в размере квадратов, самый большой из которых  - исходный, со стороной 110/110 (или 120/120)

11/110 х 12/120 - самый маленький квадрат

(11/110 + 11/110) х (12/120+12/120) = 22/110 х 24/120 - второй квадрат

(22/110 + 11/110) х (24/120+12/120) = 33/110 х 36/120 - третий квадрат

(33/110 + 11/110) х (36/120+12/120) = 44/110 х 48/120 - четвертый квадрат

(44/110+11/110) х (48/120+12/120) = 55/110 х 60/120 - пятый квадрат

и т. д.

110/110 х 120/120 - самый большой квадрат (исходный, со стороной 1х1)

Следовательно длины сторон новых квадратов увеличиваются согласно закону арифметической прогрессии.

an = a₁ + (n-1)*d  - формула n-го члена арифметической прогрессии.

Посчитаем количество квадратов по вертикальной стороне

an = 110/110 = 1 - последний (n-й) член ариф. прогрессии

a₁= 11/110 - первый член ариф. прогрессии (для вертикальной стороны)

d = 11/110 - разность ариф. прогрессии (для вертикальной стороны)

n - количество членов ариф. прогрессии (количество квадратов)

an = a₁ + (n-1)*d

1 = 11/110 + (n-1)*11/110

1 = 11/110 + (11/110)*n - 11/110

1 = (11/110)*n

n = 1 : (11/110) = 1*110/11 = 10 - количество членов ариф. прогрессии (количество квадратов)

Проверка!!!

Посчитаем количество квадратов по горизонтальной стороне стороне

an = 120/120 = 1 - последний (n-й) член ариф. прогрессии

a₁= 12/120 -первый член ариф. прогрессии (для горизонтальной стороны)

d = 12/120 - разность ариф. прогрессии (для горизонтальной стороны)

n - количество членов ариф. прогрессии (количество квадратов)

an = a₁ + (n-1)*d

1 = 12/120 + (n-1)*12/120

1= 12/120 + (12/120)*n - 12/120

1 = 12/120*n

n = 1 : (12/120) = 1*120/12 = 10 - количество членов ариф. прогрессии (количество квадратов) - ВЕРНО

Ответ: 10 квадратов

Answer 2

Для решения этой задачи нужно посчитать количество различных квадратов каждого размера на получившемся рисунке и затем сложить все значения.

Квадраты размером 1x1: На исходном квадрате со стороной 1 ничего не изменилось, поэтому имеется только один квадрат данного размера.

Квадраты размером 2x2: При разделении горизонтальных сторон на 120 равных частей и проведении 119 вертикальных отрезков, образуются 119 квадратов размером 2x2.

Квадраты размером 3x3: При разделении горизонтальных сторон на 120 равных частей и проведении 119 вертикальных отрезков, возможно образование 118 квадратов размером 3x3.

Продолжая таким образом, можно заметить следующий паттерн:

Количество квадратов размером nxn = (120 - n + 1) * (110 - n + 1)

Теперь мы можем посчитать количество различных квадратов:

Сумма для всех размеров n: (120 - 1 + 1) * (110 - 1 + 1) + (120 - 2 + 1) * (110 - 2 + 1) + ... + (120 - 110 + 1) * (110 - 110 + 1)

Это можно упростить, заметив, что это сумма квадратов чисел от 1 до 110:

Сумма = 1^2 + 2^2 + ... + 110^2 = (110 * (110 + 1) * (2 * 110 + 1)) / 6 = 143,550

Таким образом, на получившемся рисунке можно увидеть 143,550 разных квадратов.