Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченную линиями y=x^2, y=x

Answer 1

$y=x^2\; ,\; \; yx=\\\\x^2=x\; ,\; x(x-1)=0\; \; \to \; \; x_1=0\; ,\; x_2=1\\\\S=\int \limits _0^1\, (x-x^2)dx=(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3})\Big |_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 и y = x, нам нужно определить точки пересечения этих двух функций. Так как мы ищем точки пересечения, приравняем уравнения к друг другу:

x^2 = x

Теперь приведем уравнение к нулевому виду:

x^2 - x = 0

Теперь факторизуем уравнение:

x(x - 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 1.

Теперь мы можем вычислить соответствующие значения y:

y = x^2

Для x = 0: y = 0^2 = 0 Для x = 1: y = 1^2 = 1

Теперь у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (1, 1). Эти точки задают границы фигуры, ограниченной кривыми.

Теперь, чтобы найти площадь этой фигуры, нужно вычислить интеграл между границами:

Площадь = ∫[0, 1] (x^2 - x) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = [x^3/3 - x^2/2] [от 0 до 1]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

Площадь = [(1^3/3 - 1^2/2) - (0^3/3 - 0^2/2)]

Площадь = [(1/3 - 1/2) - (0)]

Площадь = [1/6]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 и y = x, равна 1/6 квадратных единицы.