Question

Вычислить площадь, ограниченную линиями: y=x^2+4x, y=x+4

Answer 1

Найдем точки пересечения графиков:

${x}^{2} + 4x = x + 4 \\ {x}^{2} + 4x - x - 4 = 0 \\ {x}^{2} +3x - 4 = 0$

по теореме Виета найдем корни уравнения

$x_{1} + x_{2} = - 3 \\ x_{1} \times x_{2} = -4 \\ \\ x_{1} = - 4 \\ x_{2} = 1$

$\int\limits^1_ - {(x + 4 - x^2-4x)} \, dx = \\ = \int\limits^1_ - {(- x^2-3x + 4)} \, dx = \\ = ( - \frac{ {x}^{3} }{3} - 3 \frac{ {x}^{2} }{2} + 4x) \binom{1}{ - 4} = \\ = ( - \frac{ {1}^{3} }{3} - 3 \frac{ {1}^{2} }{2} + 4 \times 1) - \\ - ( - \frac{ {( - 4)}^{3} }{3} - 3 \frac{ {( - 4)}^{2} }{2} + 4 \times ( - 4)) = \\ = - \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4 - \frac{64}{3} + 24 + 16 = \\ = 44 - \frac{3}{2} - \frac{65}{3} = \frac{264 - 9 - 130}{6} = \\ = \frac{125}{6} = 20 \frac{5}{6}$

*интеграл от -4 до 1

Ответ в кв.ед:

$20 \frac{5}{6}$

или

$\frac{125}{6}$

Answer 2

Для вычисления площади, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем интегрировать разность между функциями по переменной x в пределах этих точек.

1. Найдем точки пересечения кривых:

Пусть y = x^2 + 4x и y = x + 4. Когда они пересекаются, y1 (значение y для первой функции) равно y2 (значение y для второй функции). Поэтому:

x^2 + 4x = x + 4

2. Перенесем все в одну сторону и приведем уравнение к квадратному виду:

x^2 + 4x - x - 4 = 0 x^2 + 3x - 4 = 0

3. Решим квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = 3, c = -4.

x = (-3 ± √(3^2 - 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1) x = (-3 ± √(9 + 16)) / 2 x = (-3 ± √25) / 2

Таким образом, получим две точки пересечения: x1 = (-3 + 5) / 2 = 1 x2 = (-3 - 5) / 2 = -4

4. Теперь, чтобы найти площадь между кривыми, выполним определенный интеграл от разности функций по переменной x в пределах от x = -4 до x = 1:

Площадь = ∫(верхняя функция - нижняя функция) dx, где интегрирование проводится от x = -4 до x = 1.

Итак, площадь S будет равна:

S = ∫((x^2 + 4x) - (x + 4)) dx, от -4 до 1

S = ∫(x^2 + 3x - 4) dx, от -4 до 1

Теперь проинтегрируем:

S = (1/3)x^3 + (3/2)x^2 - 4x, от -4 до 1

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

S = [(1/3)1^3 + (3/2)1^2 - 41] - [(1/3)(-4)^3 + (3/2)(-4)^2 - 4(-4)]

S = [1/3 + 3/2 - 4] - [-64/3 + 32 - 16]

S = [1/3 - 5/2] - [-64/3 + 16]

S = [1/3 - 5/2] + [64/3 - 16]

S = 1/3 - 5/2 + 64/3 - 16

S = -15/6 - 15/6 + 64/6 - 96/6

S = (64 - 96 - 15 - 15)/6

S = -62/6

S = -31/3

Итак, площадь, ограниченная этими двумя кривыми, равна -31/3 квадратных единиц.