Question

Найти при каких значениях a возрастает на R функциях: f(x)=ax^2+4x+5

Answer 1

найдем абсциссу вершины параболы х= -4/(2*а)=-2/а

При этом у = (20а-16)/(4а)=5-(4/а), Если а положительно, то ветви параболы направлены вверх, и функция возрастает на промежутке (-2/а;+∞)

Если а =0, то функция обращается в линейную и всюду на R возрастает, т.к. ее угловой коэффициент больше нуля.

Если а - отрицательно, то ветви параболы направлены вниз, и функция возрастает только на промежутке(-∞;-2/а)

Ответ при а=0

Answer 2

Для того чтобы найти значения параметра "a", при которых функция возрастает на всем множестве действительных чисел R, мы должны анализировать знак производной функции f(x). Функция возрастает на интервале, когда ее производная положительна.

Итак, найдем производную функции f(x) по переменной x:

f'(x) = d/dx (ax^2 + 4x + 5) = 2ax + 4.

Теперь, чтобы найти интервалы возрастания функции f(x), мы должны решить неравенство:

f'(x) > 0.

Заменим f'(x) на 2ax + 4:

2ax + 4 > 0.

Теперь разделим неравенство на 2a (при условии, что a ≠ 0, иначе у функции нет квадратичной формы):

ax + 2 > 0.

Теперь определим знак выражения ax + 2 для различных значений параметра "a":

1. Если a > 0: Тогда ax + 2 > 0 для любого значения x, так как при положительных значениях "a" и "x" выражение ax + 2 всегда будет положительным. В этом случае функция f(x) возрастает на всем множестве действительных чисел R.

2. Если a < 0: Тогда ax + 2 > 0, когда x < -2/a. В этом случае функция f(x) возрастает на интервале (-∞, -2/a).

Таким образом, функция f(x) = ax^2 + 4x + 5 возрастает на R при значениях параметра "a", которые удовлетворяют условию a > 0.