Question

Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями. А) Y=4x-x^2, y=0 Б) y=(1/3)x^3, y=0, x=-1, x=2

Answer 1

находишь значения, при которых функция равна 0

эти значения - пределы интегрирования, решаешь интеграл и усе

вот пример: 1. Найдем точки пересечения функции y = 4 - x^2 и y = 0;

4 - x^2 = 0;

x1 = -2;

x2 = 2;

2. Находим площадь фигуры, ограниченной функциями:

S = ∫(- 2; 2) (4 - x^2) dx = 4 * x - x^3 / 3 = (8 - 8/3) - (- 8 + 8/3) = (24/3 - 8/3) - (-24/3 + 8/3) = 16/3 + 16/3 = 32/3 = 10 2/3;

3. Ответ: S = 10 2/3.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями, нужно найти интеграл функции, описывающей верхнюю границу фигуры, и вычесть из нее интеграл функции, описывающей нижнюю границу фигуры.

А) Y = 4x - x^2, y = 0:

Для начала, найдем точки пересечения кривых, приравняв выражения для y:

4x - x^2 = 0

Факторизуем:

x(4 - x) = 0

Таким образом, x = 0 или x = 4.

Теперь вычислим площадь фигуры, интегрируя выражение y = 4x - x^2 от x = 0 до x = 4:

Площадь, S = ∫[0, 4] (4x - x^2) dx

S = [2x^2 - (x^3)/3] [0, 4]

S = [(2 * 4^2) - (4^3)/3] - [(2 * 0^2) - (0^3)/3]

S = [32 - 64/3] - [0]

S = 32 - 64/3

S = 96/3 - 64/3

S = 32/3

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4x - x^2 и y = 0, равна 32/3.

Б) y = (1/3)x^3, y = 0, x = -1, x = 2:

Площадь фигуры ограничена кривой y = (1/3)x^3 и осью x, а также вертикальными линиями x = -1 и x = 2.

Поскольку область ограничена осью x снизу и функцией y = (1/3)x^3 сверху на отрезке [-1, 2], то площадь можно вычислить как разность интегралов функции y = (1/3)x^3 и нуля на этом интервале:

S = ∫[-1, 2] [(1/3)x^3 - 0] dx

S = [(1/12)x^4] [-1, 2]

S = [(1/12) * 2^4] - [(1/12) * (-1)^4]

S = [16/12] - [1/12]

S = 15/12

S = 5/4

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = (1/3)x^3, y = 0, x = -1 и x = 2, равна 5/4.