Question

Вычислить площадь ограниченную линиями y^2=x^3, x=0, y=4

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$y^2=x^3;y=4;x=0\\y=\sqrt{x^3};y=4;x=0\\ \sqrt{x^3}=4; (\sqrt{x^3})^2=4^2; x^3=16;x=\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2} .\\S=\int\limits^{2\sqrt[3]{2}} _0 {(4-x^{\frac{3}{2} }) \, dx =(4x-\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} )|_0^{2\sqrt[3]{2}} =4*2\sqrt[3]{2} -\frac{2}{5} (2\sqrt[3]{2})^{\frac{5}{2}}=$

$=8*\sqrt[3]{2}-\frac{2}{5}*2^{\frac{5}{2}}* 2^{\frac{5}{6}} =8*1,26-0,4*5,66*1,78=10,08-4,03 =6,05.$

Ответ: S≈6,05 кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади, ограниченной указанными линиями, мы должны найти точки пересечения этих линий и затем интегрировать функцию, представляющую разницу между ними, от одной точки пересечения до другой. В данном случае, линии пересекаются в точке (0, 0) и (8, 4), так как y^2 = x^3 и y = 4.

Площадь ограниченной области можно найти интегрированием функции по x от 0 до 8:

Площадь = ∫[0, 8] (4 - √x^3) dx

Давайте вычислим этот интеграл:

Площадь = ∫[0, 8] (4 - x^(3/2)) dx = [4x - (2/5)x^(5/2)] |[0, 8] = 4 * 8 - (2/5) * 8^(5/2) = 32 - (2/5) * 64 = 32 - 25.6 = 6.4

Таким образом, площадь, ограниченная указанными линиями, составляет приблизительно 6.4 квадратных единиц.