Question

При каком наибольшем k можно утверждать, что при любой покраске в черный цвет k клеток белого прямоугольника 10 х 10 обязательно останется целиком белый квадрат 3х3 со сторонами, идущими по линиям сетки?​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

10×10=100

3×3=9.

100-9=91

Answer 2

Для понимания данной задачи, давайте рассмотрим прямоугольник 10 х 10 клеток и представим, как он выглядит на черно-белой сетке. Попробуем найти условия, при которых после покраски в черный цвет некоторых клеток останется целиком белый квадрат 3 х 3.

Мы знаем, что квадрат 3 х 3 останется белым, если все его угловые клетки белые. Поскольку каждая угловая клетка квадрата 3 х 3 имеет общую сторону с прямоугольником 10 х 10, эти клетки не могут быть окрашены в черный цвет. Следовательно, у нас есть 4 угловых клетки, которые должны оставаться белыми.

Рассмотрим одну из этих угловых клеток. Для того чтобы она осталась белой после покраски всех клеток вокруг нее, нужно, чтобы внешний контур 5 х 5 вокруг этой клетки был черным (поскольку угловая клетка 3 х 3 сама по себе белая).

Таким образом, чтобы сохранить целостность белых квадратов 3 х 3, весь прямоугольник 10 х 10 должен иметь черные клетки только внутри контура 5 х 5, охватывающего угловые клетки.

Мы знаем, что в прямоугольнике 10 х 10 всего 100 клеток. Каждый из внутренних квадратов 5 х 5 занимает 25 клеток, и у нас есть 4 таких квадрата внутри прямоугольника. Следовательно, общее количество черных клеток внутри этих квадратов равно 4 * 25 = 100.

Таким образом, при любом k, где k не превышает 100, мы можем утверждать, что при любой покраске в черный цвет k клеток белого прямоугольника 10 х 10 обязательно останется целиком белый квадрат 3 х 3.