Question

Знайдіть найбільше значення до ф-ції f(x)=x^4-2x^2+3 на проміжку [-2;1]

Answer 1

Ответ:

11.

Пошаговое объяснение:

Найти наибольшее значение функции   $f(x)= x^{4} -2x^{2} +3$  

на отрезке  [ - 2; 1]

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел.

D( f ) = ( - ∞ ; + ∞)

Найдем производную функции

$f'(x)=( x^{4} -2x^{2} +3)'= 4x^{3} -4x = 4x(x^{2} -1) =4x(x-1)(x+1)$

Найдем критические точки, решив уравнение f'(x)=0.

x= 0, x= 1 , x = - 1 - критические точки.

Заданному отрезку [ - 2; 1]  принадлежат все точки. Поэтому найдем значение функции в точках - 2; - 1; 0 ; 1.

$f(-2)= (-2)^{4} -2\cdot (-2)^{2} +3= 16 -2\cdot 4 +3=16-8+3=8+3=11;\\\\f(-1)= (-1)^{4} -2\cdot (-1)^{2} +3= 1 -2\cdot 1 +3=1-2+3=2;\\\\f(0)= 0^{4} -2\cdot 0^{2} +3= 0-2\cdot 0 +3=0-0+3=3;\\\\f(1)= 1^{4} -2\cdot 1^{2} +3= 1 -2\cdot 1 +3=1-2+3=2$

Сравним полученные значения и найдем наибольшее. Получим: наибольшее значение функции равно 11.

#SPJ1

Answer 2

Щоб знайти найбільше значення функції $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ на проміжку $[-2;1]$, спершу потрібно знайти критичні точки функції всередині цього проміжку, а потім обрати максимальне значення серед цих критичних точок та значень на кінцях інтервалу.

1. Знайдемо похідну функції $f(x)$: $f'(x) = 4x^3 - 4x$

2. Тепер знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння $f'(x) = 0$: $4x^3 - 4x = 0$

Ділимо на $4x$: $x^2 - 1 = 0$

Розв'язок цього рівняння: $x^2 = 1$ $x = \pm 1$

Критичні точки на інтервалі $[-2;1]$: $x = -1$ та $x = 1$.

3. Тепер знайдемо значення функції $f(x)$ в цих критичних точках та на кінцях інтервалу:

• $f(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^2 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11$
• $f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
• $f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

4. Тепер обираємо найбільше значення серед цих точок та кінців інтервалу:

Найбільше значення на інтервалі $[-2;1]$ - це $f(-2) = 11$.

Отже, найбільше значення функції $f(x)$ на проміжку $[-2;1]$ дорівнює 11.