Question

При каком наибольшем K можно утверждать что при любой покраски в чёрном цветка клеток белого прямоугольника 10 на 10 обязательно останется целиком белый квадрат 3 на 3 со сторонами идущими по линиям сетки

Answer 1

Пошаговое объяснение:

10×10=100

3×3=9

100-9=91

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте введем некоторые обозначения:

- Пусть \( N \) - размер стороны большого прямоугольника (10 в данном случае). - Пусть \( M \) - размер стороны маленького квадрата (3 в данном случае).

Теперь давайте рассмотрим, какой должна быть конфигурация покраски в большом прямоугольнике, чтобы гарантировать, что при любой покраске в черный цвет клеток белого прямоугольника обязательно останется целиком белый квадрат \( M \times M \).

Предположим, что мы красим в черный цвет произвольные клетки в большом прямоугольнике. Мы хотим избежать ситуации, когда в каждом \( M \times M \) подпрямоугольнике есть хотя бы одна черная клетка. Таким образом, мы должны избежать полностью черных подпрямоугольников размера \( M \times M \).

Теперь давайте рассмотрим сетку клеток в большом прямоугольнике. Каждый \( M \times M \) подпрямоугольник будет содержать \( \frac{N}{M} \) клеток по горизонтали и \( \frac{N}{M} \) клеток по вертикали.

Если \( K \) - количество целых клеток, которые мы можем закрасить (и, следовательно, избежать), то общее количество клеток в большом прямоугольнике равно \( N^2 \). Таким образом, условие избежания полностью черных подпрямоугольников можно записать как:

\[ K < N^2 - \frac{N}{M} \times \frac{N}{M} \]

Теперь подставим значения \( N = 10 \) и \( M = 3 \):

\[ K < 100 - \frac{10}{3} \times \frac{10}{3} \]

\[ K < 100 - \frac{100}{9} \]

\[ K < \frac{800}{9} \]

Таким образом, чтобы гарантировать, что при любой покраске в черный цвет клеток белого прямоугольника 10 на 10 обязательно останется целиком белый квадрат 3 на 3, необходимо, чтобы количество клеток, которые можно закрасить (K), было меньше \( \frac{800}{9} \), или примерно 88.89 клеток. Таким образом, максимальное значение \( K \), при котором гарантируется условие задачи, равно 88.