Question

Дано точки А(0;3) В(7;2) С(4;1) задано точки А, B, C знайти 1) рівняння прямої ВС; 2) рівняння прямої яка проходить через точку А паралельно до прямої ВС; 3)кут АВС; 4) рівняння та довжину медіани в трикутнику АВС яка проведена з вершини А; 6)знайти точку А1 яка симетрична точці А відносно прямої ВС.​

Answer 1

Дано точки А(0;3), В(7;2), С(4;1).

Знайти 1) рівняння прямої ВС;

Находим уравнение стороны ВС по точкам В(7;2), С(4;1)

Вектор ВС = ((4-7); 1-2))) = (-3; -1).

Уравнение ВС: (х - 7)/(-3) = (у - 2)/(-1)

-x + 7 = -3y + 6

x - 3y - 1 = 0 или y = (1/3)x – (1/3).

2) рівняння прямої яка проходить через точку А паралельно до прямої ВС;

Уравнение этой прямой x - 3у + C = 0.

Подставим координаты точки А(0; 3).

0 – 3*3 + C = 0.

        Отсюда С = 9.

Получаем уравнение x - 3у + 9 = 0.

3)кут АВС;

Находим векторы ВА и ВС.

Вектор ВА = (0-7; 3-2) = (-7; 1). Его модуль равен √(49 + 1) =√50 = 5√2.

Вектор ВС == (4-7; 1-2) (-3; -1). Его модуль равен √9 + 1) = √10.

cos B = (-7*(-3) + 1*(-1)/(5√2*√10) = 20/(10√5) = 2/√5.

Угол В = arccos(2/(√5)) = 0,463648 радиан или 26,56505 градуса.  

4) рівняння та довжину медіани в трикутнику АВС яка проведена з вершини А;

Находим координаты точки Е как середины стороны ВС.

Точки А(0; 3), В(7; 2), С(4; 1).

Е(7+4)/2; (2+1)/2) = (5,5; 1,5).

Вектор АЕ = ((0-5,5); (3-1,5))) = (-5,5; 1,5).

Уравнение АЕ: (х – 0)/(-5,5) = (у - 3)/(1,5) или х/(-11) = (у - 3)/3 .

Это в каноническом виде.

Оно же в общем виде:

3х = -11у + 33,

3х + 11у – 33 = 0.

И в виде уравнения с угловым коэффициентом у = (-3/11)х + 11.

5) знайти точку А1, яка симетрична точці А відносно прямої ВС.

Используем уравнение стороны ВС: y = (1/3)x – (1/3).

У прямой, перпендикулярной к прямой BC, угловой коэффициент равен к = -1(1/3) = -3.

Тогда уравнение перпендикуляра у = -3х + b.

Подставим координаты точки A(0; 3).

3 = (-3)*0 + b, отсюда b = 3.

Получаем уравнение высоты АD:

y = -3х + 3 или в общем виде 3х + у – 3 = 0.

Находим точку пересечения прямой ВС и высоты к ней.

ВС: x - 3y - 1 = 0               x - 3y - 1 = 0

АD: 3х + у – 3 = 0|x3 =   9х + 3у – 9 = 0.

                                        10x      -10 = 0.      

x = 10/10 = 1, y = 3 – 3x = 3 – 3*1 = 0.

Точка пересечения D(1; 0).

Теперь ищем точку А1, симметричную точке А относительно прямой ВС.

x(A1) = 2x(D) – x(A) = 2*1 – 0 = 2.

y(A1) = 2y(D) – y(A) = 2*0 – 3 = -3.

Точка А1(2; -3).

Answer 2

1) Рівняння прямої BC можна знайти, використовуючи формулу для загального рівняння прямої:

\[y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1).\]

Для точок B(7;2) і C(4;1) отримаємо:

\[y - 2 = \frac{1 - 2}{4 - 7}(x - 7).\]

Спростимо рівняння:

\[y - 2 = \frac{-1}{-3}(x - 7).\]

\[y - 2 = \frac{1}{3}(x - 7).\]

Розкриваємо дужки:

\[y - 2 = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}.\]

Підвіднимо члени до одного знаменника:

\[3y - 6 = x + 7.\]

\[x - 3y + 13 = 0.\]

Отже, рівняння прямої BC: \(x - 3y + 13 = 0.\)

2) Рівняння прямої, яка проходить через точку A(0;3) і паралельна BC, буде мати такий же нахил, тобто \(\frac{1}{3}\). Використаємо формулу:

\[y - y_1 = m(x - x_1),\]

де \(m\) - нахил прямої, а \((x_1, y_1)\) - координати точки, через яку проходить пряма.

\[y - 3 = \frac{1}{3}(x - 0).\]

Спростимо рівняння:

\[y - 3 = \frac{1}{3}x.\]

Підвіднимо члени до одного знаменника:

\[3y - 9 = x.\]

Отже, рівняння прямої, яка проходить через точку A і паралельна BC: \(x - 3y + 9 = 0.\)

3) Кут між двома прямими можна знайти, використовуючи формулу для кута між двома прямими \(m_1\) та \(m_2\):

\[\tan(\theta) = \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}.\]

Для BC, нахил \(m_1 = \frac{1}{3}\), для прямої, яка проходить через A і паралельна BC, нахил \(m_2 = \frac{1}{3}\). Підставимо значення:

\[\tan(\theta) = \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}} = 0.\]

Отже, кут \(\theta = \arctan(0) = 0^\circ\).

4) Медіана в трикутнику, проведена з вершини A, ділить протилежний відрізок (в даному випадку BC) пополам. Знаходимо середину відрізка BC:

\[M\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{7 + 4}{2}, \frac{2 + 1}{2}\right) = \left(\frac{11}{2}, \frac{3}{2}\right).\]

Рівняння медіани можна знайти, використовуючи формулу для загального рівняння прямої та підставляючи координати точок A та M:

\[y - y_A = \frac{y_M - y_A}{x_M - x_A}(x - x_A).\]

\[y - 3 = \frac{\frac{3}{2} - 3}{\frac{11}{2} - 0}(x - 0).\]

Спростимо рівняння:

\[y - 3 = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{11}{2}}x.\]

Помножимо обидва боки на \(\frac{11}{2}\) для усунення дробів:

\[-\frac{11}{2}y + \frac{33}{2} = -\frac{3}{2}x.\]

\[11y - 33 = 3x.\]

\[3x - 11y + 33 = 0.\]

Отже, рівняння медіани в трикутнику ABC: \(3x - 11y + 33 = 0\).

5) Точка \(A_1\), яка є симетричною точці \(A(0,3)\) відносно прямої BC, може бути знайдена за допомогою формул симетрії точки відносно прямої. Формула для знаходження координат точки \(A_1(x_1, y_1)\) виглядає так:

\[x_1 = 2x_C - x, \quad y_1 = 2y_C - y.\]

Підставимо значення точки A:

\[x_1 = 2 \cdot 4 - 0 = 8, \quad y_1 = 2 \cdot 1 - 3 = -1.\]

Отже, точка \(A_1(8, -1)\) є симетричною точці A(0,3) відносно прямої BC.