Question

Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А (2; 2; -4), В(2; - 1; - 1), С(3; - 1; - 2). Знайдіть: 1) площу трикутника; 2) найбільший кут трикутника

Answer 1

Трикутник АВС задано координатами своїх вершин

А (2; 2; -4), В(2; - 1; - 1), С(3; - 1; - 2).

Знайдіть: 1) площу трикутника; 2) найбільший кут трикутника

1) Вектор АВ = (2-2; -1-2); -1-(-4)) = (0; -3; 3).

        Вектор АС = (3-2; -1-2); -2-(-4)) = (1; -3; 2).

Находим площадь с помощью векторного произведения.

I             j           k |         I           j

0          -3          3 |         0         -3

1          -3          2 |         1         -3 = -6i + 3j + 0k – 0j+ 9i + 3k =   3i + 3j + 3k.

S = (1/2)*√(9 + 9 + 9) = 3√3/2 ≈ 2,598076.

2)

AB = √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²) = 0 9 9 18 4,242641

BC = √((xC-xB)²+(yC-yB)²+(zC-zB)²) = 1 0 1 2 1,414214

AC = √((xC-xA)²+(yC-yA)²+(zC-zA)²) = 1 9 4 14 3,741657

cos A = (AB*AC)/|AB|*|AC| = (0*1+3*3+3*2)/( √18*√14) = cos A = 0,944911183

Аналогично определяем косинусы углов В и С.

                               cos B = 0,5               cos C = -0,188982237

A = 0,333473172 В = 1,047197551 С = 1,76092193 радиан

19,10660535  60         100,8933946       градусов.

Наибольший угол С = 100,89339 градусов.

Answer 2

Щоб знайти площу трикутника та найбільший кут, можна скористатися різними формулами та властивостями трикутників. Давайте розглянемо обидва пункти:

1. Площа трикутника:

Площа трикутника може бути знайдена за допомогою формули Герона, яка базується на довжинах його сторін. Позначимо довжини сторін трикутника як \(a\), \(b\) і \(c\), а полупериметр як \(s\). Формула Герона виглядає так:

\[S = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}\]

де \(s = \frac{a + b + c}{2}\).

Знаходження довжин сторін можна виконати за допомогою відомих точок вершин трикутника:

\[a = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\] \[b = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2}\] \[c = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2}\]

У нашому випадку:

\[a = \sqrt{(2 - 2)^2 + ((-1) - 2)^2 + ((-1) - (-4))^2}\] \[b = \sqrt{(3 - 2)^2 + ((-1) - (-1))^2 + ((-2) - (-1))^2}\] \[c = \sqrt{(3 - 2)^2 + ((-1) - 2)^2 + ((-2) - (-4))^2}\]

Обчислімо ці значення.

2. Найбільший кут трикутника:

Найбільший кут трикутника можна знайти за допомогою косинусної теореми. Знаходження косинусу кута можна виразити за допомогою скалярного добутку векторів. Кут між векторами \(\vec{AB}\) і \(\vec{AC}\) (позначимо його як \(\theta\)) можна знайти так:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\|\vec{AB}\| \cdot \|\vec{AC}\|} \]

Кут між векторами можна виразити через його косинус:

\[ \theta = \arccos\left(\frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\|\vec{AB}\| \cdot \|\vec{AC}\|}\right) \]

Таким чином, найбільший кут трикутника буде максимальним значенням \(\theta\) для всіх пар векторів. Ми можемо обчислити це для кожної пари вершин.

Давайте обчислимо ці значення.