Question

5. В правильной пирамиде DABC точка К отмечена на ребре AD так, что АК: KD=1:3. Площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельной грани АВС, равна 3 Найдите площадь грани АВС.

Answer 1

Ответ:

Площадь грани АВС равна  $\displaystyle 5\frac{1}{3}$  ед.²

Объяснение:

В правильной пирамиде DABC точка К отмечена на ребре AD так, что АК : KD = 1 : 3. Площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельной грани АВС, равна 3 Найдите площадь грани АВС.

Дано: DABC  - правильная пирамида;

К ∈ АD; АК : KD = 1 : 3;

ΔМКЕ || ΔАВС.

Найти: S(АВС)

Решение:

1. Рассмотрим ΔКDE и ΔADC.

ΔКМЕ || ΔАВС

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны.

⇒ КЕ || AC.

• Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне, то она отсекает треугольник, подобный данному.

⇒ ΔКDE ~ ΔADC

АК : KD = 1 : 3

Пусть АК = х, тогда KD = 3х, а AD = 4x.

Запишем отношения сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{KD}{AD} =\frac{KE}{AC} \\\\ \frac{KE}{AC} =\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4}=k$

2. Рассмотрим ΔКMЕ и ΔАВС.

Так как пирамида правильная, то в основании - равносторонний треугольник.

Аналогично п.1 :

$\displaystyle \frac{KE}{AC}=\frac{ME}{BC}=\frac{KM}{AB} =\frac{3}{4}$

⇒ ΔКMЕ ~ ΔАВС (по трем пропорциональным сторонам)

3. Найдем площадь ΔАВС.

• Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

$\displaystyle \frac{S(KME)}{S(ABC)}=k^2=\frac{9}{16}\\ \\ S(ABC)=\frac{S(KME)\cdot16}{9}=\frac{3\cdot16}{9} =\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}$

Площадь грани АВС равна  $\displaystyle 5\frac{1}{3}$  ед.²

#SPJ1

Answer 2

Для решения задачи, давайте воспользуемся свойствами подобных треугольников. Обозначим длину отрезка AK как x, и длину отрезка KD как 3x (согласно условию АК:КD = 1:3).

Так как площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельной грани АВС, равна 3, это означает, что площадь треугольника ABK равна 3 (так как ABK - основание сечения пирамиды).

Для нахождения площади треугольника ABK, нам нужно знать длины его сторон. Рассмотрим треугольник AKD. Мы знаем, что АК:КD = 1:3, поэтому x:3x = 1:3. Мы можем решить эту пропорцию, чтобы найти значение x:

x/3x = 1/3 1 = 3x/x 1 = 3

Таким образом, x = 3.

Теперь мы знаем длину отрезка AK - 3, и длину отрезка KD - 3 * 3 = 9. Мы можем использовать эти значения, чтобы найти длину стороны AB треугольника ABK:

AB = AK + KD = 3 + 9 = 12.

Теперь у нас есть длина стороны AB треугольника ABK. Мы можем использовать формулу для площади треугольника:

S = (1/2) * AB * h,

где h - высота треугольника, опущенная на сторону AB.

Нам дана площадь сечения пирамиды, проходящей через точку К и параллельной грани ABС, равная 3. Для нахождения высоты треугольника, нам нужно разделить площадь сечения на длину стороны AB:

h = S / AB = 3 / 12 = 1/4.

Теперь у нас есть длина стороны AB и высота треугольника. Мы можем найти площадь треугольника ABK:

S_ABK = (1/2) * AB * h = (1/2) * 12 * (1/4) = 3.

Таким образом, площадь грани ABC равна 3.