Question

1.В правильной 4угольной пирамиде боковое ребро равно 10 см.Найдите площадь боковой поверхности пирамиды,если апофема пирамиды равна 8 см.2.В правильной 3угольной пирамиде боковое ребро равно 10 см и наклонено к плоскости основы под углом .Найдите высоту пирамиды.3.В правильной 4угольной пирамиде боковая грань наклонена к основе по д углом , а ее высота равна 12 см.Найтдите апофему пирамиды.4.Найдите площадь полной поверхности правильной 4угольнойпирамиды, в которой сторона основы равна 6 см, а боковая грань наклонена к основе под углом .5.Найдите площадь полной поверхности правильной 3угольной пирамиды, в которой апофема равна L и образует с высотой пирамиды угол .Помогите решить хотя-бы 2 номера..буду благодарна за помощь)

Answer 1

1.В правильной 4угольной пирамиде боковое ребро равно 10 см.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды если апофема пирамиды равна 8 см.

 

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее четырех граней, или половине произведения периметра основания на апофему.
SB=10
SH=8
И без вычисления ясно, что основание боковой грани равно 6*2=12, т.к. половина грани, треугольник АSH, представляет собой "египетский" треугольник с отношением сторон 3:4:5.
S ASB=GH*AB:2=8*6:2=24
S боковая =24*4=96
или
S боковая =6*4*8:2=96 (рисунок не обязателен)
---------------------------------------------------------------

2.В правильной 3угольной пирамиде боковое ребро равно 10 см и наклонено
к плоскости основы под углом 30гр. Найдите высоту пирамиды.

Высота пирамиды противолежит углу 30 градусов и потому равна половине бокового ребра=10:2=5 см
--------------------------------------------------------
3.В правильной 4угольной пирамиде
боковая грань наклонена к основе
под углом 60 гр, а ее высота равна 12 см.
Найдите апофему пирамиды.

Сечение пирамиды HGM - правильный треугольник, т.к. углы при его основании равны60 гр.
GO, высота пирамиды, равна (GH √3 ):2 по формуле высоты правильного треугольника. Можно использовать с таким же результатом и теорему Пифагора, обозначив ОН=х, GH=2x.
12= (GH √3 ):2
24=GH √3
GH=24:√3=24√3:√3*√3=8√3-
Ответ. Апофема равна 8√3 см
---------------------------------------
4.Найдите площадь полной поверхности правильной 4угольной пирамиды, в которой сторона основы равна 6 см, а боковая грань наклонена к основе под углом 60 гр.

Площадь полной поверхности правильной 4угольной пирамиды равна сумме площади основания(квадрата) и ее 4-х боковых граней (равнобедренных треугольников).
Площадь основания равна квадрату его стороны = АВ²=36 см²

Площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды равна сумме площадей ее четырех граней, или половине произведения периметра основания на апофему.
Сечение пирамиды по апофемам является правильным треугольником.
Апофему боковой гранинайдем из треугольника GHO.
Катет НО, как половина стороны основания, равен 3 см, и как противолежащий углу 30 гр при вершине, равен половине апофемы .
Отсюда GH=6 см
S боковая= GH*АВ*4:2= 6*6*4:2=72 см²
S полная=72+36=108 см²
----------------------------------------------------
5.Найдите площадь полной поверхности правильной 3угольной пирамиды, в которой апофема равна L и образует с высотой пирамиды угол альфа .

 

Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна сумме площади основания и площади ее трех боковых граней
Площадь основания равна половине произведения высоты ВН на сторону АС или S=(a²√3):4 или через высоту по формуле
S=h²:√3
Все эти формулы вытекают одна из другй, ход этих преобразований приводить здесь нужды нет.
Площадь боковой грани вычисляется по классической формуле площади равнобедренного треугольника.
Нужно найти:
сторону правильного треугольника АВС через его высоту ВН.
Основание высоты пирамиды делит высоту ВН в отношении 2:1, считая от В ( по свойству медианы треугольника)
ОН:GН равно синусу угла α между апофемой и высотой пирамиды
ОН:L=sinα
OH=L·sinα
ВН=( L·sinα)²=3L·sinα
S основания =h²:√3 = 3²(L·sinα)²:√3= умножим числитель и знаменатель на √3
9·√3( L·sinα)²:√3·√3=9·√3( L·sinα)²: 3 =3√3( L·sinα)²
Для площади грани нужно знать сторону основания. Найдем ее из высоты ВН
ВН=(а√3):2
2ВН=а√3
а=2ВН:√3=6L*sinα:√3=6√3L·sinα: √3·√3=6√3L·sinα: 3=2L·sinα√3
S грани 2L·sinα √3·L:2=L²sinα·√3
S бок=3·L²sinα·√3
Sполная =L²sinα·√3+3√3( L·sinα)² выведем за скобку общие множители
Sполная=L²·sinα·(1+ sinα)·√3

Answer 2

Task 1: Finding the lateral surface area of a regular quadrilateral pyramid

To find the lateral surface area of a regular quadrilateral pyramid, we need to know the length of the lateral edge and the apothem of the pyramid.

Given: - Length of the lateral edge = 10 cm - Apothem of the pyramid = 8 cm

To calculate the lateral surface area, we can use the formula:

Lateral Surface Area = (Perimeter of the base) * (Apothem) / 2

The perimeter of the base can be calculated by multiplying the length of one side by the number of sides in the base. Since it's a regular quadrilateral pyramid, the base has 4 sides.

Let's calculate the lateral surface area:

Step 1: Calculate the perimeter of the base. The length of one side of the base can be found using the formula:

Length of one side = (Lateral edge) / (2 * sin(180° / number of sides))

For a regular quadrilateral pyramid, the number of sides is 4.

Length of one side = 10 cm / (2 * sin(180° / 4))

Step 2: Calculate the perimeter of the base. The perimeter of the base is the length of one side multiplied by the number of sides.

Perimeter of the base = (Length of one side) * (Number of sides)

Step 3: Calculate the lateral surface area. Using the formula mentioned earlier:

Lateral Surface Area = (Perimeter of the base) * (Apothem) / 2

Let's calculate the values:

Step 1: Length of one side = 10 cm / (2 * sin(180° / 4)) = 10 cm / (2 * sin(45°)) = 10 cm / (2 * 0.7071) ≈ 7.0711 cm

Step 2: Perimeter of the base = (Length of one side) * (Number of sides) = 7.0711 cm * 4 = 28.2844 cm

Step 3: Lateral Surface Area = (Perimeter of the base) * (Apothem) / 2 = 28.2844 cm * 8 cm / 2 = 113.1376 cm²

Therefore, the lateral surface area of the pyramid is approximately 113.1376 cm².