Question

Знайти одиниці вектора m (0;1) n(-2;3) k (⅘;⅗

Answer 1

Чтобы найти единичный вектор, нужно вектор поделить на его длину. Длина вектора вычисляется с использованием формулы:

\[ \| \mathbf{v} \| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + \ldots + v_n^2} \]

Где \(\mathbf{v}\) - вектор, а \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) - его компоненты.

В данном случае вектор \(\mathbf{m}\) равен (0, 1), вектор \(\mathbf{n}\) равен (-2, 3), а вектор \(\mathbf{k}\) равен \((\frac{4}{5}, \frac{6}{5})\).

Сначала найдем сумму квадратов компонент каждого вектора:

\[\|\mathbf{m}\|^2 = 0^2 + 1^2 = 1\] \[\|\mathbf{n}\|^2 = (-2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\] \[\|\mathbf{k}\|^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} + \frac{36}{25} = \frac{52}{25}\]

Теперь вычислим длину каждого вектора:

\[\|\mathbf{m}\| = \sqrt{1} = 1\] \[\|\mathbf{n}\| = \sqrt{13}\] \[\|\mathbf{k}\| = \sqrt{\frac{52}{25}} = \frac{\sqrt{52}}{5} = \frac{2\sqrt{13}}{5}\]

Теперь делим каждый из исходных векторов на их длины, чтобы получить единичные векторы:

\[\mathbf{u_m} = \frac{\mathbf{m}}{\|\mathbf{m}\|} = \frac{(0, 1)}{1} = (0, 1)\] \[\mathbf{u_n} = \frac{\mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|} = \frac{(-2, 3)}{\sqrt{13}}\] \[\mathbf{u_k} = \frac{\mathbf{k}}{\|\mathbf{k}\|} = \frac{\left(\frac{4}{5}, \frac{6}{5}\right)}{\frac{2\sqrt{13}}{5}} = \left(\frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}}\right)\]

Таким образом, единичные векторы для \(\mathbf{m}\), \(\mathbf{n}\) и \(\mathbf{k}\) соответственно равны:

\[\mathbf{u_m} = (0, 1)\] \[\mathbf{u_n} = \frac{1}{\sqrt{13}}(-2, 3)\] \[\mathbf{u_k} = \frac{1}{\sqrt{13}}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}}\right)\]