Question

Перпендикуляр, проведений з вершини прямокутника на його діагональ, ділить кут прямокутника у відношенні 3:1. Визначте кут між цим перпендикуляром та іншою діагоналлю.

Answer 1

Ответ:

угол КВО=45°

Объяснение:

обозначим вершины прямоугольника ABCD с диагоналями АС и ВД, точку их пересечения О, а перпендикуляр ВК, пропорции углов обозначим х и 3х и, так как сумма этих двух углов составляет 90°, составим уравнение:

х+3х=90

4х=90

х=90÷4

х=22,5.

Итак: угол АВК=22,5°, тогда угол КВС=22,5×3=67,5°.

Рассмотрим полученный ∆АВК. Он прямоугольный, угол АВК=22,5°, а так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то угол ВАК=90-22,5=67,5°.

Рассмотрим ∆АВО. Он равнобедренный, поскольку диагонали прямоугольника пересекаясь делятся пополам, поэтому АО=ВО, а АВ- его основание и углы при основании равны:

уголВАО=углу АВО=67,5°. Угол ВАО в ∆АВО и угол ВАК в ∆АВК является общим и равен 67,5°. Тогда угол КВО=67,5-22,5=45°

Answer 2

Позначимо прямокутник ABCD, де AB і CD - паралельні сторони, а AC і BD - діагоналі. Нехай E - точка перетину перпендикуляра з діагоналлю AC.

За умовою задачі, ми знаємо, що перпендикуляр проведений з вершини прямокутника (наприклад, вершини A) на його діагональ AC ділить відповідний кут (в даному випадку, кут BAC) на дві частини у відношенні 3:1. Тобто, ми можемо сказати, що кут BAE дорівнює 3x, а кут EAC дорівнює x.

Так як сума кутів в трикутнику дорівнює 180 градусів, ми можемо записати:

3x + x + кут BAC = 180°.

Об'єднуючи коефіцієнти, ми отримаємо:

4x + кут BAC = 180°.

Тепер можемо виразити кут BAC:

кут BAC = 180° - 4x.

Також, ми знаємо, що кути, утворені перпендикуляром і діагоналлю, є взаємно доповнюючими, тобто:

кут BAE + кут EAC = 90°.

Знаючи, що кут BAE дорівнює 3x, ми можемо записати:

3x + x = 90°, 4x = 90°, x = 90° / 4, x = 22.5°.

Тепер підставимо значення x у вираз для кута BAC:

кут BAC = 180° - 4 * 22.5°, кут BAC = 180° - 90°, кут BAC = 90°.

Отже, кут між перпендикуляром, проведеним з вершини прямокутника, і іншою діагоналлю дорівнює 90 градусів.