Question

Твірна конуса дорівнює 8 см і нахилена до площини основи під кутом 60 градусів. Знайдіть площу осьового перерізу цього конуса.

Answer 1

Ответ:

27,71 cм²

Объяснение:

1) Рассмотрим в плоскости осевого сечения прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания, высотой и образующей.

Радиус основания и высота конуса - это катеты данного прямоугольного треугольника, а образующая - его гипотенуза.

2) В данном прямоугольном треугольнике известны 2 угла - прямой (90°)  - между высотой конуса и радиусом основания и угол 60° - между образующей и радиусом основания.

Следовательно, острый угол, против которого лежит радиус основания равен:

180° (сумма внутренних углов треугольника) - 90° - 60° = 30°.

3) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, радиус основания R равен:

R = 8 : 2 = 4 см.

4) Высоту рассчитаем по теореме Пифагора: катет равен корню квадратному из разности между квадратом гипотенузы и квадратом другого катета:

H = √(8² - 4²) = √ (64-16) = √ 48 = √ 16*3 = 4√3.

5) Осевое сечения конуса является треугольником, площадь которого равна половине произведения основания на высоту. Основание треугольника - это диаметр основания конуса, а высота треугольника - это высота конуса.

Диаметр основания конуса D равен:

D = 2 * R = 2 * 4 = 8 см.

6) Находим площадь осевого сечения S:

S = (D * H) : 2 = (8 * 4√3) : 2 = 16√3 cм².

Избавимся от иррациональности и рассчитаем значение площади с округлением до сотых (0,01).

16√3 ≈ 16 * 1,732 ≈ 27,71 cм²  

Ответ: 16√3 cм², или 27,71 cм².

Answer 2

Для знаходження площі осьового перерізу конуса можемо скористатися геометричними властивостями конуса та трикутника. Оскільки конус нахилений до площини основи під кутом 60 градусів, це означає, що кут між генератрисою конуса та площиною основи також дорівнює 60 градусів.

Осьовий переріз конуса площиною основи буде рівнобедреним трикутником. Для знаходження площі такого трикутника можемо використати формулу:

Площа трикутника = (1/2) * сторона * висота,

де сторона - довжина одного з рівних бокових відрізків рівнобедреного трикутника, а висота - відстань від вершини трикутника до середини основи.

У нас дана твірна конуса (радіус основи) дорівнює 8 см. За властивостями рівнобедреного трикутника, можна розділити трикутник на дві прямокутні трикутники, кожен з яких матиме кут на основі 30 градусів (половина від 60 градусів).

За допомогою тригонометричних функцій, можна знайти сторону рівнобедреного трикутника:

сторона = (півтора твірна) * tan(30°) = (1/2) * 8 см * √3 ≈ 6.93 см.

Також, можна знайти висоту трикутника за теоремою Піфагора:

висота = √((8 см)^2 - (6.93 см)^2) ≈ 4 см.

Тепер можемо обчислити площу осьового перерізу конуса:

Площа трикутника = (1/2) * 6.93 см * 4 см ≈ 13.86 см^2.

Отже, площа осьового перерізу цього конуса приблизно дорівнює 13.86 квадратних сантиметрів.