Question

5. Даны вектор p(- 3; 4), d(2; 2) и q(8;a). Найдите: а) косинус между векторами p и d b) число а, если векторы d и q коллинеарны; с) число а, если векторы p и q перпендикулярны.

Answer 1

Ответ:

а) Косинус между векторами p и d можно найти с помощью формулы косинуса угла между векторами: cos(θ) = (p · d) / (|p| |d|), где p · d - скалярное произведение векторов, |p| и |d| - длины векторов p и d соответственно. Расчеты показывают, что косинус между векторами p и d равен 0.4.

b) Для того чтобы векторы d и q были коллинеарны, они должны быть параллельны и иметь одинаковые направления. Так как d(2; 2) и q(8; a), чтобы они были коллинеарны, координаты x и y должны пропорционально совпадать, то есть уравнения 2/8 = 2/a. Решением уравнения является a = 4.

с) Для того чтобы векторы p и q были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю: p · q = (-3 * 8) + (4 * a) = 0. Решая это уравнение, получаем a = 6.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из пунктов поочерёдно:

а) Косинус угла между двумя векторами вычисляется по формуле:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}, \]

где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) - скалярное произведение векторов, а \(\|\vec{a}\|\) и \(\|\vec{b}\|\) - их длины.

В данном случае: \[ \vec{p} = \langle -3, 4 \rangle, \] \[ \vec{d} = \langle 2, 2 \rangle. \]

Теперь подставим значения в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{(-3 \cdot 2) + (4 \cdot 2)}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2} \cdot \sqrt{2^2 + 2^2}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{-6 + 8}{\sqrt{9 + 16} \cdot \sqrt{4 + 4}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{2}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{8}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{2}{5 \cdot 2\sqrt{2}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{1}{5\sqrt{2}} \]

Это и есть косинус угла между векторами \(\vec{p}\) и \(\vec{d}\).

б) Векторы коллинеарны, если они параллельны и масштабируются друг относительно друга. Вектор \(\vec{q}\) коллинеарен вектору \(\vec{d}\), если существует число \(a\), такое что: \[ \vec{q} = a \vec{d} \]

Исходя из заданных значений: \[ \vec{d} = \langle 2, 2 \rangle, \] \[ \vec{q} = \langle 8, a \rangle. \]

Так как \(\vec{q}\) коллинеарен \(\vec{d}\), мы можем записать: \[ 8 = a \cdot 2 \] \[ a = \frac{8}{2} \] \[ a = 4 \]

Таким образом, число \(a\) равно 4.

в) Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \[ \vec{p} \cdot \vec{q} = 0 \]

Исходя из заданных значений: \[ \vec{p} = \langle -3, 4 \rangle, \] \[ \vec{q} = \langle 8, a \rangle. \]

Запишем условие перпендикулярности: \[ (-3 \cdot 8) + (4 \cdot a) = 0 \]

\[ -24 + 4a = 0 \]

\[ 4a = 24 \]

\[ a = 6 \]

Таким образом, число \(a\) равно 6.