Question

Отношение длины образующей к радиусу основания прямого кругового конуса равно 2 : 1, а площадь боковой поверхности конуса 162 п см². Найдите объем конуса

Answer 1

Там ещё решение одной задачи, я забыла фото прикрепить

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся формулами для нахождения площади боковой поверхности конуса и объема конуса. 1. **Отношение длины образующей к радиусу основания:** \[ \frac{l}{r} = 2:1 \] где \(l\) - длина образующей, \(r\) - радиус основания. 2. **Площадь боковой поверхности конуса:** \[ S_{\text{бок}} = \pi r l \] где \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности, \(\pi\) - число пи (примерно 3.14159). У нас дано, что \(S_{\text{бок}} = 162 \pi\) (поскольку не указаны единицы измерения, мы можем оставить ответ в терминах \(\pi\)). Мы также знаем, что \(\frac{l}{r} = 2:1\), поэтому можно выразить \(l\) через \(r\): \[ l = 2r \] Теперь подставим это в формулу для \(S_{\text{бок}}\): \[ S_{\text{бок}} = \pi r (2r) \] \[ 162 \pi = 2 \pi r^2 \] Разделим обе стороны на \(2 \pi\): \[ r^2 = \frac{162 \pi}{2 \pi} \] \[ r^2 = 81 \] Теперь найдем радиус основания (\(r\)). Извлекаем корень: \[ r = \sqrt{81} \] \[ r = 9 \] Теперь, когда у нас есть радиус (\(r\)), можем найти длину образующей (\(l\)): \[ l = 2r = 2 \times 9 = 18 \] Теперь у нас есть и радиус, и длина образующей. Мы можем использовать их, чтобы найти объем конуса. 3. **Объем конуса:** \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] где \(V\) - объем, \(r\) - радиус основания, \(h\) - высота конуса. Теперь мы знаем \(r = 9\) и \(h = l = 18\): \[ V = \frac{1}{3} \pi \times 9^2 \times 18 \] Вычислим это: \[ V = \frac{1}{3} \pi \times 81 \times 18 \] \[ V = 486 \pi \] Таким образом, объем конуса равен \(486 \pi\) кубических единиц.